да криволинейный интеграл (1+2xy)dx+(x²-y)dy. точки O(0 0) A(4 0) B(0 8)C(4 8) найти по ломаной OAC по ломаной OBC по дуге параболы OC y=1/2 x²

Для вычисления криволинейного интеграла \(\int_C (1 + 2xy) \, dx + (x^2 - y) \, dy\), где \(C\) — это ломаная, в этом случае мы будем рассматривать три отрезка: \(OAC\), \(OBC\) и дугу \(OC\) по параболе.

1. Интеграл по ломаной \(OAC\)

Ломаная \(OAC\) состоит из двух отрезков:

• \(OA\) от \(O(0,0)\) до \(A(4,0)\)
• \(AC\) от \(A(4,0)\) до \(C(4,8)\)

Отрезок \(OA\):

На этом отрезке \(y=0\), тогда \(dy=0\) и \(dx=dx\):

\[ \int_{O}^{A} (1 + 2xy) \, dx + (x^2 - y) \, dy = \int_0^4 (1 + 2 \cdot x \cdot 0) \, dx + \int_0^4 (x^2 - 0) \cdot 0 \, dy \]

\[ = \int_0^4 1 \, dx = 4 \]

Отрезок \(AC\):

На этом отрезке \(x=4\), тогда \(dx=0\) и \(dy=dy\):

\[ \int_{A}^{C} (1 + 2 \cdot 4 \cdot y) \cdot 0 \, dx + (4^2 - y) \, dy = \int_0^8 (16 - y) \, dy \]

\[ = \left[ 16y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{8} = \left( 128 - 32 \right) = 96 \]

Таким образом, интеграл по ломаной \(OAC\) равен:

\[ \int_{OAC} = 4 + 96 = 100 \]

2. Интеграл по ломаной \(OBC\)

Ломаная \(OBC\) также состоит из двух отрезков:

• \(OB\) от \(O(0,0)\) до \(B(0,8)\)
• \(BC\) от \(B(0,8)\) до \(C(4,8)\)

Отрезок \(OB\):

На этом отрезке \(x=0\), тогда \(dx=0\) и \(dy=dy\):

\[ \int_{O}^{B} (1 + 2 \cdot 0 \cdot y) \cdot 0 \, dx + (0^2 - y) \, dy = \int_0^8 (-y) \, dy \]

\[ = -\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{8} = -\frac{64}{2} = -32 \]

Отрезок \(BC\):

На этом отрезке \(y=8\), тогда \(dy=0\) и \(dx=dx\):

\[ \int_{B}^{C} (1 + 2 \cdot x \cdot 8) \, dx + (x^2 - 8) \, dy = \int_0^4 (1 + 16x) \, dx \]

\[ = \left[x + 8x^2\right]_{0}^{4} = (4 + 128) - (0 + 0) = 132 \]

Таким образом, интеграл по ломаной \(OBC\) равен:

\[ \int_{OBC} = -32 + 132 = 100 \]

3. Интеграл по дуге параболы \(OC\) (где \(y = \frac{1}{2}x^2\))

В этом случае мы можем выразить \(y\) через \(x\) и найти \(dy\):

\[ dy = x \, dx \]

Тогда подставим в интеграл:

\[ \int_{O}^{C} (1 + 2x \cdot \frac{1}{2} x^2) \, dx + \left(x^2 - \frac{1}{2} x^2\right) dy \]

где \(x\) пробегает от \(0\) до \(4\).

\[ \int_{0}^{4} (1 + x^3) \, dx + \int_{0}^{4} \left( x^2 - \frac{1}{2}x^2\right) x \, dx \]

\[ = \int_{0}^{4} (1 + x^3) \, dx + \int_{0}^{4} \frac{1}{2} x^3 \, dx \]

Рассчитаем первый интеграл:

\[ \int_{0}^{4} (1 + x^3) \, dx = [x + \frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = (4 + 64) - (0 + 0) = 68 \]

Теперь второй интеграл:

\[ \int_{0}^{4} \frac{1}{2} x^3 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{256}{4} = 32 \]

Таким образом, интеграл по дуге \(OC\) равен:

\[ \int_{OC} = 68 + 32 = 100 \]

Ответы

• Интеграл по ломаной \(OAC\): \(100\)
• Интеграл по ломаной \(OBC\): \(100\)
• Интеграл по дуге параболы \(OC\): \(100\)