в равнобедренной трапеции основания равны 32 и 84, периметр равен 220. найдите острый угол трапеции. ответ дайте в градусах

Обозначим равнобедренную трапецию как ABCD, где AB — верхнее основание (равно 32), CD — нижнее основание (равно 84), а боковые стороны AD и BC равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как \( a \).

Поскольку периметр трапеции равен 220, можем записать уравнение:

\[ AB + CD + AD + BC = 220 \]

Подставим значения:

\[ 32 + 84 + a + a = 220 \]

Это упростится до:

\[ 116 + 2a = 220 \]

Решим это уравнение:

\[ 2a = 220 - 116 \] \[ 2a = 104 \] \[ a = 52 \]

Таким образом, длина боковой стороны равна 52.

Теперь, чтобы найти острый угол трапеции, можем воспользоваться теоремой косинусов. Для этого сначала найдем высоту трапеции \( h \), используя прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), половинами разности оснований и боковой стороной. Половина разности оснований равна:

\[ \frac{CD - AB}{2} = \frac{84 - 32}{2} = \frac{52}{2} = 26 \]

Теперь применим теорему Пифагора:

\[ AD^2 = h^2 + \left(\frac{CD - AB}{2}\right)^2 \]

Где \( AD = 52 \) и вы получили половину разности оснований:

\[ 52^2 = h^2 + 26^2 \] \[ 2704 = h^2 + 676 \] \[ h^2 = 2704 - 676 \] \[ h^2 = 2028 \] \[ h = \sqrt{2028} \approx 45 \]

Теперь найдем острый угол \( \alpha \) трапеции, который может быть найден с использованием функции тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{CD - AB}{2}} = \frac{h}{26} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{45}{26} \]

Теперь найдём угол:

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{45}{26}\right) \]

Используя калькулятор:

\[ \alpha \approx 60.255 \text{ градус} \]

Таким образом, острый угол трапеции примерно равен \( 60.25^\circ \).