Обозначим равнобедренную трапецию как ABCD, где AB — верхнее основание (равно 32), CD — нижнее основание (равно 84), а боковые стороны AD и BC равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как ( a ).
Поскольку периметр трапеции равен 220, можем записать уравнение:
[
AB + CD + AD + BC = 220
]
Подставим значения:
[
32 + 84 + a + a = 220
]
Это упростится до:
[
116 + 2a = 220
]
Решим это уравнение:
[
2a = 220 - 116
]
[
2a = 104
]
[
a = 52
]
Таким образом, длина боковой стороны равна 52.
Теперь, чтобы найти острый угол трапеции, можем воспользоваться теоремой косинусов. Для этого сначала найдем высоту трапеции ( h ), используя прямоугольный треугольник, образованный высотой ( h ), половинами разности оснований и боковой стороной. Половина разности оснований равна:
[
\frac{CD - AB}{2} = \frac{84 - 32}{2} = \frac{52}{2} = 26
]
Теперь применим теорему Пифагора:
[
AD^2 = h^2 + \left(\frac{CD - AB}{2}\right)^2
]
Где ( AD = 52 ) и вы получили половину разности оснований:
[
52^2 = h^2 + 26^2
]
[
2704 = h^2 + 676
]
[
h^2 = 2704 - 676
]
[
h^2 = 2028
]
[
h = \sqrt{2028} \approx 45
]
Теперь найдем острый угол ( \alpha ) трапеции, который может быть найден с использованием функции тангенса:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{CD - AB}{2}} = \frac{h}{26}
]
[
\tan(\alpha) = \frac{45}{26}
]
Теперь найдём угол:
[
\alpha = \arctan\left(\frac{45}{26}\right)
]
Используя калькулятор:
[
\alpha \approx 60.255 \text{ градус}
]
Таким образом, острый угол трапеции примерно равен ( 60.25^\circ ).
