1. Даны два прямоугольных треугольника АВС, ADC (рис1). АС биссектриса. угол BAC = 35°. Доказать: ABC =ADC . Найти BCD.

Давайте сначала применим некоторые базовые свойства и теоремы о треугольниках.

Пусть в треугольнике \( ABC \) угол \( BAC = 35^\circ \). Поскольку это прямоугольный треугольник, то угол \( ABC \) равен \( 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

В треугольнике \( ADC \) также два угла будут определены. Поскольку \( AC \) является биссектрисой, угол \( DAC \) будет равен углу \( CAB \) (то есть \( 35^\circ \)). Таким образом, угол \( DCA \) можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):

\[ \angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ. \]

Предполагая, что угол \( ADC \) равен \( 90^\circ \), мы можем получить:

\[ 35^\circ + \angle DCA + 90^\circ = 180^\circ. \]

Отсюда:

\[ \angle DCA = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ. \]

Теперь у нас есть:

• \( \angle ABC = 55^\circ \)
• \( \angle DCA = 55^\circ \)

Таким образом, угол \( ABC \) равен углу \( DCA \).

Теперь обратим внимание на треугольники \( ABC \) и \( ADC \):

• У них есть общий катет \( AC \)
• Углы \( ABC \) и \( DCA \) равны
• Угол \( BAC \) равен углу \( DAC \)

Следовательно, по теореме о равенстве треугольников по двум углам и стороне (ASA), треугольники \( ABC \) и \( ADC \) равны.

Теперь, чтобы найти \( BCD \), мы можем воспользоваться тем, что сумма углов в четырехугольнике \( ABCD \) равна \( 360^\circ \). Поскольку \( \angle ABC = 90^\circ \) и \( \angle ADC = 90^\circ \), имеем:

\[ \angle BCD + \angle ABC + \angle ADC + \angle DAB = 360^\circ. \]

Так как \( DAB \) является внешним углом треугольника \( DAC \) и равен углу \( CAB \) (т.е. \( 35^\circ \)), можем записать:

\[ \angle BCD + 90^\circ + 90^\circ + 35^\circ = 360^\circ. \] \[ \angle BCD + 215^\circ = 360^\circ. \] \[ \angle BCD = 360^\circ - 215^\circ = 145^\circ. \]

Итак, мы доказали, что \( ABC = ADC \) и нашли угол \( BCD = 145^\circ \).