Для вычисления площади области интегрирования, необходимо сначала проанализировать пределы интегрирования.
Мы имеем двойной интеграл, который описывается следующим образом:
[
\int_{0}^{5} \int_{\frac{y^2}{5}}^{5} dx , dy
]
Сначала мы интегрируем по (x) от (\frac{y^2}{5}) до (5), что подразумевает, что (x) изменяется в пределах от (\frac{y^2}{5}) до (5) для каждой фиксированной (y). Пределы для (y) задаются от (0) до (5).
Теперь давайте найдем площадь области, заданной этими пределами.
- Первый этап —посчитать интеграл по (x):
[
\int_{\frac{y^2}{5}}^{5} dx = 5 - \frac{y^2}{5}
]
- Теперь подставим это в интеграл по (y):
[
\int_{0}^{5} \left( 5 - \frac{y^2}{5} \right) dy
]
- Разделим интеграл на два:
[
\int_{0}^{5} 5 , dy - \int_{0}^{5} \frac{y^2}{5} , dy
]
- Вычислим каждый из этих интегралов.
Первый интеграл:
[
\int_{0}^{5} 5 , dy = 5y \Big|_{0}^{5} = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 25
]
Второй интеграл:
[
\int_{0}^{5} \frac{y^2}{5} , dy = \frac{1}{5} \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_{0}^{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5^3}{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{125}{3} = \frac{25}{3}
]
- Теперь подставим полученные значения обратно:
[
25 - \frac{25}{3} = \frac{75}{3} - \frac{25}{3} = \frac{50}{3}
]
Таким образом, площадь области интегрирования равна:
[
\frac{50}{3}
]
