интеграла от 0 до 5dx интеграл от y²/5 до 5 dy вычислить площадь область интегрирования
Для вычисления площади области интегрирования, необходимо сначала проанализировать пределы интегрирования.
Мы имеем двойной интеграл, который описывается следующим образом:
\[ \int_{0}^{5} \int_{\frac{y^2}{5}}^{5} dx \, dy \]
Сначала мы интегрируем по \(x\) от \(\frac{y^2}{5}\) до \(5\), что подразумевает, что \(x\) изменяется в пределах от \(\frac{y^2}{5}\) до \(5\) для каждой фиксированной \(y\). Пределы для \(y\) задаются от \(0\) до \(5\).
Теперь давайте найдем площадь области, заданной этими пределами.
- Первый этап —посчитать интеграл по \(x\):
\[ \int_{\frac{y^2}{5}}^{5} dx = 5 - \frac{y^2}{5} \]
- Теперь подставим это в интеграл по \(y\):
\[ \int_{0}^{5} \left( 5 - \frac{y^2}{5} \right) dy \]
- Разделим интеграл на два:
\[ \int_{0}^{5} 5 \, dy - \int_{0}^{5} \frac{y^2}{5} \, dy \]
- Вычислим каждый из этих интегралов.
Первый интеграл:
\[ \int_{0}^{5} 5 \, dy = 5y \Big|_{0}^{5} = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 25 \]
Второй интеграл:
\[ \int_{0}^{5} \frac{y^2}{5} \, dy = \frac{1}{5} \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_{0}^{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5^3}{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{125}{3} = \frac{25}{3} \]
- Теперь подставим полученные значения обратно:
\[ 25 - \frac{25}{3} = \frac{75}{3} - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} \]
Таким образом, площадь области интегрирования равна:
\[ \frac{50}{3} \]
