В предложении запятые расставляются следующим образом:
"Привязанность Пушкина к няне так бросалась в глаза, что Анна Керн, в которую Пушкин был так бурно влюблён, уверяла, что Пушкин по-настоящему любил только свою Му́зу и свою няню."
Главная часть: "Привязанность Пушкина к няне так бросалась в глаза". Придаточная часть: "что Анна Керн, в которую Пушкин был так бурно влюблён, уверяла, что Пушкин по-настоящему любил только свою Му́зу и свою няню".