Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты ( a ) и ( b ) по формуле:
[
S = \frac{1}{2}ab
]
Где ( S ) — площадь треугольника. В данном случае ( S = 24 ) см², следовательно:
[
\frac{1}{2}ab = 24
]
[
ab = 48 \quad (1)
]
Также известно, что гипотенуза ( c ) треугольника равна 10 см. Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим значение гипотенузы:
[
10^2 = a^2 + b^2
]
[
100 = a^2 + b^2 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две системы уравнений: (1) и (2). Мы можем выразить один из катетов через другой. Из (1) выразим ( b ):
[
b = \frac{48}{a}
]
Подставим это в (2):
[
100 = a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2
]
[
100 = a^2 + \frac{2304}{a^2}
]
Умножим все на ( a^2 ), чтобы избавиться от дроби:
[
100a^2 = a^4 + 2304
]
[
a^4 - 100a^2 + 2304 = 0
]
Обозначим ( x = a^2 ), тогда уравнение принимает вид:
[
x^2 - 100x + 2304 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2}
]
Это дает два решения:
[
x_1 = \frac{128}{2} = 64 \quad (a^2 = 64 \Rightarrow a = 8)
]
[
x_2 = \frac{72}{2} = 36 \quad (a^2 = 36 \Rightarrow a = 6)
]
Теперь найдём соответствующие значения ( b ):
- Если ( a = 8 ), то:
[
b = \frac{48}{8} = 6
]
- Если ( a = 6 ), то:
[
b = \frac{48}{6} = 8
]
Итак, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.
