Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см^2, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника
Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты \( a \) и \( b \) по формуле:
\[ S = \frac{1}{2}ab \]
Где \( S \) — площадь треугольника. В данном случае \( S = 24 \) см², следовательно:
\[ \frac{1}{2}ab = 24 \] \[ ab = 48 \quad (1) \]
Также известно, что гипотенуза \( c \) треугольника равна 10 см. Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим значение гипотенузы:
\[ 10^2 = a^2 + b^2 \] \[ 100 = a^2 + b^2 \quad (2) \]
Теперь у нас есть две системы уравнений: (1) и (2). Мы можем выразить один из катетов через другой. Из (1) выразим \( b \):
\[ b = \frac{48}{a} \]
Подставим это в (2):
\[ 100 = a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 \] \[ 100 = a^2 + \frac{2304}{a^2} \]
Умножим все на \( a^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\[ 100a^2 = a^4 + 2304 \] \[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 \]
Обозначим \( x = a^2 \), тогда уравнение принимает вид:
\[ x^2 - 100x + 2304 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2} \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = \frac{128}{2} = 64 \quad (a^2 = 64 \Rightarrow a = 8) \] \[ x_2 = \frac{72}{2} = 36 \quad (a^2 = 36 \Rightarrow a = 6) \]
Теперь найдём соответствующие значения \( b \):
- Если \( a = 8 \), то:
\[ b = \frac{48}{8} = 6 \]
- Если \( a = 6 \), то:
\[ b = \frac{48}{6} = 8 \]
Итак, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.
