Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как вычисляется количество пшеничных зёрен для каждой клетки шахматной доски.
На первую клетку кладем 1 зерно, на вторую - 2 зерна, на третью - 4 зерна, на четвертую - 8 зерен и так далее. Это означает, что количество зёрен на ( n )-й клетке можно записать как ( 2^{(n-1)} ).
Таким образом, общее количество зёрен на всех 64 клетках можно найти, сложив количество зёрен на каждой клетке:
[
S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{63}
]
Это - геометрическая прогрессия, сумма которой вычисляется по формуле:
[
S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}
]
где:
- ( a ) - первый член прогрессии (в нашем случае ( 1 )),
- ( r ) - знаменатель прогрессии (в нашем случае ( 2 )),
- ( n ) - количество членов (в нашем случае ( 64 )).
Подставим значения:
[
S = 1 \frac{(2^{64} - 1)}{(2 - 1)} = 2^{64} - 1
]
Теперь вычислим ( 2^{64} ):
[
2^{64} = 18446744073709551616
]
Следовательно, общее количество зёрен будет:
[
S = 18446744073709551616 - 1 = 18446744073709551615
]
Таким образом, изобретателю шахмат понадобилось бы 18,446,744,073,709,551,615 зёрен пшеницы.
