Обозначим ширину прямоугольника как ( x ) см. Тогда длина прямоугольника будет ( x + 2 ) см.
Сначала найдем первоначальную площадь прямоугольника:
[
S_1 = x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x
]
После увеличения ширины на 3 м (или 300 см) и длины на 8 м (или 800 см), новые размеры будут:
- новая ширина = ( x + 300 ) см
- новая длина = ( x + 2 + 800 = x + 802 ) см
Теперь найдем новую площадь:
[
S_2 = (x + 300)(x + 802)
]
По заданию, площадь увеличилась в 3 раза:
[
S_2 = 3 \cdot S_1
]
Подставим выражения для площадей:
[
(x + 300)(x + 802) = 3(x^2 + 2x)
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + 802x + 300x + 241600 = 3x^2 + 6x
]
Упрощаем уравнение:
[
x^2 + 1102x + 241600 = 3x^2 + 6x
]
[
0 = 3x^2 + 6x - x^2 - 1102x - 241600
]
[
0 = 2x^2 - 1096x - 241600
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала можно воспользоваться дискриминантом:
[
D = (-1096)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-241600)
]
[
D = 1204736 + 1932800 = 3137536
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1096 \pm \sqrt{3137536}}{4}
]
Вычисляем ( \sqrt{3137536} ):
[
\sqrt{3137536} \approx 1770.2
]
Теперь подставляем в формулу:
[
x = \frac{1096 \pm 1770.2}{4}
]
Мы получаем два значения:
- ( x = \frac{2866.2}{4} \approx 716.55 )
- ( x = \frac{-674.2}{4} \approx -168.55 ) (это значение не подходит, так как ширина должна быть положительной)
Таким образом, ширина ( x \approx 716.55 ) см, а длина:
[
x + 2 \approx 718.55 \text{ см}
]
Ответ:
Ширина прямоугольника составляет примерно ( 716.55 ) см, а длина примерно ( 718.55 ) см.
