Для первого задания:
Обозначим длину стороны ( AB = x ). Тогда ( AC = 2x ).
В параллелограмме ABCD по свойству диагоналей:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ACD)
]
Зная, что угол ACD равен ( 169^\circ ) (что эквивалентно ( 180^\circ - 11^\circ )), ( \cos(169^\circ) = -\cos(11^\circ) ).
Параллелограмм имеет равные противоположные стороны, так что ( BC = AB = x ).
Подставим все значения:
[
(2x)^2 = x^2 + x^2 + 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(11^\circ)
]
[
4x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cdot \cos(11^\circ)
]
[
4 = 2 + 2 \cdot \cos(11^\circ)
]
[
2 = 2 \cdot \cos(11^\circ)
]
[
\cos(11^\circ) = 1
]
Таким образом, мы можем определить, что углы между диагоналями ( \angle AOB ) и ( \angle COD ) имеют определенные соотношения.
Если углы ( ACD = 169° ), то получаем угол между диагоналями:
[
\angle AOB = 180° - 169° = 11°
]
Поскольку интересует меньший угол, то ответ:
[
\text{Ответ: } 11°
]
Для второго задания:
Аналогично, теперь угол ACD равен ( 21^\circ ).
Рассматриваем ту же формулу:
[
(2x)^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x^2 \cdot \cos(21^\circ)
]
[
4x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cdot \cos(21^\circ)
]
[
4 = 2 + 2 \cdot \cos(21^\circ)
]
[
2 = 2 \cdot \cos(21^\circ)
]
[
\cos(21^\circ) = 1
]
С углом ACD в ( 21° ):
[
\angle AOB = 180 - 21 = 159°
]
Таким образом, меньший угол между диагоналями:
[
\text{Ответ: } 21°
]
Для третьего задания:
Сначала найдем стороны. В параллелограмме, согласно свойству биссектрисы, ( \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{CK} ).
Дано: ( BK = 6 ), ( CK = 10 ). Таким образом:
[
\frac{AB}{AD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
]
Обозначим ( AB = 3k ) и ( AD = 5k ). Тогда периметр ( P ) параллелограмма равен:
[
P = 2(AB + AD) = 2(3k + 5k) = 2(8k) = 16k
]
Также по свойству параллелограмма, отрезки ( BK ) и ( CK ) тоже определяют общую длину стороны:
[
AC = BK + CK = 6 + 10 = 16
]
Поскольку ( k ) можно определить как ( \frac{16}{8} = 2 ):
Периметр будет:
[
P = 16 \cdot 2 = 32
]
Ответ:
[
\text{Периметр: } 32
]
