1. в параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD=169 градусам. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах 2. в…
1. в параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD=169 градусам. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах 2. в параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD=21 градусам. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах 3. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BK=6, CK=10
Для первого задания: Обозначим длину стороны \( AB = x \). Тогда \( AC = 2x \).
В параллелограмме ABCD по свойству диагоналей:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ACD) \]
Зная, что угол ACD равен \( 169^\circ \) (что эквивалентно \( 180^\circ - 11^\circ \)), \( \cos(169^\circ) = -\cos(11^\circ) \).
Параллелограмм имеет равные противоположные стороны, так что \( BC = AB = x \).
Подставим все значения:
\[ (2x)^2 = x^2 + x^2 + 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(11^\circ) \]
\[ 4x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cdot \cos(11^\circ) \]
\[ 4 = 2 + 2 \cdot \cos(11^\circ) \]
\[ 2 = 2 \cdot \cos(11^\circ) \]
\[ \cos(11^\circ) = 1 \]
Таким образом, мы можем определить, что углы между диагоналями \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) имеют определенные соотношения.
Если углы \( ACD = 169° \), то получаем угол между диагоналями:
\[ \angle AOB = 180° - 169° = 11° \]
Поскольку интересует меньший угол, то ответ:
\[ \text{Ответ: } 11° \]
Для второго задания: Аналогично, теперь угол ACD равен \( 21^\circ \).
Рассматриваем ту же формулу:
\[ (2x)^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x^2 \cdot \cos(21^\circ) \]
\[ 4x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cdot \cos(21^\circ) \]
\[ 4 = 2 + 2 \cdot \cos(21^\circ) \]
\[ 2 = 2 \cdot \cos(21^\circ) \]
\[ \cos(21^\circ) = 1 \]
С углом ACD в \( 21° \):
\[ \angle AOB = 180 - 21 = 159° \]
Таким образом, меньший угол между диагоналями:
\[ \text{Ответ: } 21° \]
Для третьего задания: Сначала найдем стороны. В параллелограмме, согласно свойству биссектрисы, \( \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{CK} \).
Дано: \( BK = 6 \), \( CK = 10 \). Таким образом:
\[ \frac{AB}{AD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Обозначим \( AB = 3k \) и \( AD = 5k \). Тогда периметр \( P \) параллелограмма равен:
\[ P = 2(AB + AD) = 2(3k + 5k) = 2(8k) = 16k \]
Также по свойству параллелограмма, отрезки \( BK \) и \( CK \) тоже определяют общую длину стороны:
\[ AC = BK + CK = 6 + 10 = 16 \]
Поскольку \( k \) можно определить как \( \frac{16}{8} = 2 \):
Периметр будет:
\[ P = 16 \cdot 2 = 32 \]
Ответ:
\[ \text{Периметр: } 32 \]
