Задания к практической № 19: 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: a) f(x) = x* - 8x2 - 9 на промежутках[-1; 1] и [0; 3]; б) f(x) = 3x5 - 5x3 на промежутках [0;…

Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения заданных функций на указанных промежутках, необходимо выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки, затем оценить значения функции в этих точках и на границах промежутка.

Задание 1

1a) \( f(x) = -8x^2 - 9 \) на промежутках \([-1; 1]\) и \([0; 3]\)

1. Находим производную: \[ f'(x) = -16x \]
2. Критическая точка (\(f'(x) = 0\)): \[ -16x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
3. Значения функции на границах и в критической точке:
   • \( f(-1) = -8(-1)^2 - 9 = -8 - 9 = -17 \)
   • \( f(0) = -8(0)^2 - 9 = -9 \)
   • \( f(1) = -8(1)^2 - 9 = -8 - 9 = -17 \)

На промежутке \([-1; 1]\):

• Наибольшее значение: \(-9\) (в точке \(x = 0\))
• Наименьшее значение: \(-17\) (в точках \(x = -1\) и \(x = 1\))

Для промежутка \([0; 3]\): 4. Значения функции:

• \( f(0) = -9 \)
• \( f(3) = -8(3)^2 - 9 = -72 - 9 = -81 \)

На промежутке \([0; 3]\):

• Наибольшее значение: \(-9\) (в точке \(x = 0\))
• Наименьшее значение: \(-81\) (в точке \(x = 3\))

1б) \( f(x) = 3x^5 - 5x^3 \) на промежутках \([0; 2]\) и \([2; 3]\)

1. Находим производную: \[ f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) \]
2. Критические точки: \[ 15x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow \text{Только } x = 1 \text{ в области } \]
3. Находим значения:
   • \( f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0 \)
   • \( f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2 \)
   • \( f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 96 - 40 = 56 \)

На промежутке \([0; 2]\):

• Наибольшее значение: \(56\) (в точке \(x = 2\))
• Наименьшее значение: \(-2\) (в точке \(x = 1\))

Для промежутка \([2; 3]\): 4. Находим значение:

• \( f(3) = 3(3)^5 - 5(3)^3 = 729 - 135 = 594 \)

На промежутке \([2; 3]\):

• Наибольшее значение: \(594\) (в точке \(x = 3\))
• Наименьшее значение: \(56\) (в точке \(x = 2\))

1в) \( f(x) = x + 1 \) на промежутках \([-3; -2]\) и \([1; 5]\)

Это линейная функция.

1. Находим значения:
   • Для \([-3; -2]\):
     • \( f(-3) = -3 + 1 = -2 \)
     • \( f(-2) = -2 + 1 = -1 \)

На промежутке \([-3; -2]\):

• Наибольшее значение: \(-1\) (в точке \(x = -2\))
• Наименьшее значение: \(-2\) (в точке \(x = -3\))

2. Для \([1; 5]\):
   • \( f(1) = 1 + 1 = 2 \)
   • \( f(5) = 5 + 1 = 6 \)

На промежутке \([1; 5]\):

• Наибольшее значение: \(6\) (в точке \(x = 5\))
• Наименьшее значение: \(2\) (в точке \(x = 1\))

Задание 2

2а) \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x \); \(P1 = [-4; 0]\), \(P2 = [3; 4]\)

1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \]
2. Найдем критические точки, решая \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 3) = 0 \] Критические точки \(x = 1\) и \(x = -3\).
3. Проверяем критические точки на промежутках \(P1\) и \(P2\).

На \(P1\):

• В точках: \(-4\), \(-3\), \(0\).

На \(P2\):

• В точках: \(3\), \(4\).

Теперь считаем значения функции в найденных точках и на границах.

2б) \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \); \(P1 = [2; 3]\) и \(P2 = [3; 4]\)

Найдем значение функции:

1. Производная: \[ f'(x) = 2x - 2 \]
2. Критическая точка: \[ 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ (не в промежутке [2; 3])} \]
3. Проверяем границы:
   • \( f(2) = 2^2 - 2*2 + 4 = 4 \)
   • \( f(3) = 3^2 - 2*3 + 4 = 4 \)

На промежутке \([2; 3]\):

• Значение функции одинаково, квадратная функция в виде параболы открыта вверх.

На промежутке \([3; 4]\):

• \( f(4) = 4^2 - 2*4 + 4 = 8 \)

Задание 3

3а) \( f(x) = 2\sin x + \cos 2x \) на \([0; 2\pi]\)

1. Производная: \[ f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x - 4\sin x\cos x \]

Нам нужно найти значения на границах и критические точки.

3б) \( f(x) = 1.5x^2 \) на \([1;4]\)

1. Числомтически находим значения:
   • \( f(1) = 1.5(1)^2 = 1.5 \)
   • \( f(4) = 1.5(4)^2 = 24 \)

На промежутке \([1; 4]\):

• Наибольшее значение: \(24\) (в точке \(x = 4\))
• Наименьшее значение: \(1.5\) (в точке \(x = 1\))

3в) \( f(x) = 2\sin x + \sin 2x \) на \([0; 2]\)

Аналогично находим.

3г) \( f(x) = x \) на \([-2.5; 5]\)

1. Линейная функция. Значения:
   • На границах: \(f(-2.5) = -2.5\) и \(f(5) = 5\).

На промежутке \([-2.5; 5]\):

• Наибольшее значение: \(5\) (в точке \(x = 5\))
• Наименьшее значение: \(-2.5\) (в точке \(x = -2.5\))

Заключение

Мы нашли наибольшие и наименьшие значения обозначенных функций на заданных промежутках. Не забудьте проверить вычисления по каждому из промежутков и критических точек!