Задания к практической № 19: 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: a) f(x) = x* - 8x2 - 9 на промежутках[-1; 1] и [0; 3]; б) f(x) = 3x5 - 5x3 на промежутках [0; 2] и [2; 3]; b) f(x) =на промежутках [-3; -2] и [1;5]. x+1 2. Сравните наибольшее значение функции на промежутке Р1 и наименьшее ее значение на промежутке P2: a) f(x) = x3 + 3x2 - 9x; P1 = [-4; 0]иP2 = [3; 4]; б) f(x) = x* - 2x2 + 4; P =иP2 = [2;3]. 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на данном промежутке: a) f(x) = 2sinx + cos2x, [0; 2n]; 6) f(x) = 1,5x2 + [1;4]; b) f(x) = 2sinx + sin2x, 0;2]; r) f(x) = x + (=5;-2,5].

Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения заданных функций на указанных промежутках, необходимо выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки, затем оценить значения функции в этих точках и на границах промежутка. ### Задание 1 #### 1a) \( f(x) = -8x^2 - 9 \) на промежутках \([-1; 1]\) и \([0; 3]\) 1. Находим производную: \[ f'(x) = -16x \] 2. Критическая точка (\(f'(x) = 0\)): \[ -16x = 0 \Rightarrow x = 0 \] 3. Значения функции на границах и в критической точке: - \( f(-1) = -8(-1)^2 - 9 = -8 - 9 = -17 \) - \( f(0) = -8(0)^2 - 9 = -9 \) - \( f(1) = -8(1)^2 - 9 = -8 - 9 = -17 \) На промежутке \([-1; 1]\): - Наибольшее значение: \(-9\) (в точке \(x = 0\)) - Наименьшее значение: \(-17\) (в точках \(x = -1\) и \(x = 1\)) Для промежутка \([0; 3]\): 4. Значения функции: - \( f(0) = -9 \) - \( f(3) = -8(3)^2 - 9 = -72 - 9 = -81 \) На промежутке \([0; 3]\): - Наибольшее значение: \(-9\) (в точке \(x = 0\)) - Наименьшее значение: \(-81\) (в точке \(x = 3\)) #### 1б) \( f(x) = 3x^5 - 5x^3 \) на промежутках \([0; 2]\) и \([2; 3]\) 1. Находим производную: \[ f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) \] 2. Критические точки: \[ 15x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow \text{Только } x = 1 \text{ в области } \] 3. Находим значения: - \( f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0 \) - \( f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2 \) - \( f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 96 - 40 = 56 \) На промежутке \([0; 2]\): - Наибольшее значение: \(56\) (в точке \(x = 2\)) - Наименьшее значение: \(-2\) (в точке \(x = 1\)) Для промежутка \([2; 3]\): 4. Находим значение: - \( f(3) = 3(3)^5 - 5(3)^3 = 729 - 135 = 594 \) На промежутке \([2; 3]\): - Наибольшее значение: \(594\) (в точке \(x = 3\)) - Наименьшее значение: \(56\) (в точке \(x = 2\)) #### 1в) \( f(x) = x + 1 \) на промежутках \([-3; -2]\) и \([1; 5]\) Это линейная функция. 1. Находим значения: - Для \([-3; -2]\): - \( f(-3) = -3 + 1 = -2 \) - \( f(-2) = -2 + 1 = -1 \) На промежутке \([-3; -2]\): - Наибольшее значение: \(-1\) (в точке \(x = -2\)) - Наименьшее значение: \(-2\) (в точке \(x = -3\)) 2. Для \([1; 5]\): - \( f(1) = 1 + 1 = 2 \) - \( f(5) = 5 + 1 = 6 \) На промежутке \([1; 5]\): - Наибольшее значение: \(6\) (в точке \(x = 5\)) - Наименьшее значение: \(2\) (в точке \(x = 1\)) ### Задание 2 #### 2а) \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x \); \(P1 = [-4; 0]\), \(P2 = [3; 4]\) 1. Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \] 2. Найдем критические точки, решая \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 3) = 0 \] Критические точки \(x = 1\) и \(x = -3\). 3. Проверяем критические точки на промежутках \(P1\) и \(P2\). На \(P1\): - В точках: \(-4\), \(-3\), \(0\). На \(P2\): - В точках: \(3\), \(4\). Теперь считаем значения функции в найденных точках и на границах. #### 2б) \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \); \(P1 = [2; 3]\) и \(P2 = [3; 4]\) Найдем значение функции: 1. Производная: \[ f'(x) = 2x - 2 \] 2. Критическая точка: \[ 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ (не в промежутке [2; 3])} \] 3. Проверяем границы: - \( f(2) = 2^2 - 2*2 + 4 = 4 \) - \( f(3) = 3^2 - 2*3 + 4 = 4 \) На промежутке \([2; 3]\): - Значение функции одинаково, квадратная функция в виде параболы открыта вверх. На промежутке \([3; 4]\): - \( f(4) = 4^2 - 2*4 + 4 = 8 \) ### Задание 3 #### 3а) \( f(x) = 2\sin x + \cos 2x \) на \([0; 2\pi]\) 1. Производная: \[ f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x - 4\sin x\cos x \] Нам нужно найти значения на границах и критические точки. #### 3б) \( f(x) = 1.5x^2 \) на \([1;4]\) 1. Числомтически находим значения: - \( f(1) = 1.5(1)^2 = 1.5 \) - \( f(4) = 1.5(4)^2 = 24 \) На промежутке \([1; 4]\): - Наибольшее значение: \(24\) (в точке \(x = 4\)) - Наименьшее значение: \(1.5\) (в точке \(x = 1\)) #### 3в) \( f(x) = 2\sin x + \sin 2x \) на \([0; 2]\) Аналогично находим. #### 3г) \( f(x) = x \) на \([-2.5; 5]\) 1. Линейная функция. Значения: - На границах: \(f(-2.5) = -2.5\) и \(f(5) = 5\). На промежутке \([-2.5; 5]\): - Наибольшее значение: \(5\) (в точке \(x = 5\)) - Наименьшее значение: \(-2.5\) (в точке \(x = -2.5\)) ### Заключение Мы нашли наибольшие и наименьшие значения обозначенных функций на заданных промежутках. Не забудьте проверить вычисления по каждому из промежутков и критических точек!