Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой n =2^ n-

Геометрическая прогрессия (ГП) определяется фиксированным соотношением между последовательными членами. Формула, которую вы привели, предполагает, что каждый член прогрессии определяется как \( a_n = 2^n \), где \( n \) – номер члена прогрессии.

Первый член (при \( n = 1 \)): \( a_1 = 2^1 = 2 \)

Второй член (при \( n = 2 \)): \( a_2 = 2^2 = 4 \)

Третий член (при \( n = 3 \)): \( a_3 = 2^3 = 8 \)

И так далее, пока не дойдем до десятого члена: \( a_{10} = 2^{10} = 1024 \)

Список первых десяти членов выглядит следующим образом:

1. \( a_1 = 2 \)
2. \( a_2 = 4 \)
3. \( a_3 = 8 \)
4. \( a_4 = 16 \)
5. \( a_5 = 32 \)
6. \( a_6 = 64 \)
7. \( a_7 = 128 \)
8. \( a_8 = 256 \)
9. \( a_9 = 512 \)
10. \( a_{10} = 1024 \)

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( q \) - общее соотношение, и \( n \) - количество членов.

В нашем случае:

• \( a_1 = 2 \)
• \( q = 2 \) (так как каждый следующий член – это предыдущий умноженный на 2)
• \( n = 10 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ S_{10} = 2 \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{10} - 1) = 2 (1024 - 1) = 2 \cdot 1023 = 2046 \]

Таким образом, сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна \( 2046 \).