Геометрическая прогрессия (ГП) определяется фиксированным соотношением между последовательными членами. Формула, которую вы привели, предполагает, что каждый член прогрессии определяется как ( a_n = 2^n ), где ( n ) – номер члена прогрессии.
Первый член (при ( n = 1 )):
( a_1 = 2^1 = 2 )
Второй член (при ( n = 2 )):
( a_2 = 2^2 = 4 )
Третий член (при ( n = 3 )):
( a_3 = 2^3 = 8 )
И так далее, пока не дойдем до десятого члена:
( a_{10} = 2^{10} = 1024 )
Список первых десяти членов выглядит следующим образом:
- ( a_1 = 2 )
- ( a_2 = 4 )
- ( a_3 = 8 )
- ( a_4 = 16 )
- ( a_5 = 32 )
- ( a_6 = 64 )
- ( a_7 = 128 )
- ( a_8 = 256 )
- ( a_9 = 512 )
- ( a_{10} = 1024 )
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
[
S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
где ( S_n ) - сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) - первый член прогрессии, ( q ) - общее соотношение, и ( n ) - количество членов.
В нашем случае:
- ( a_1 = 2 )
- ( q = 2 ) (так как каждый следующий член – это предыдущий умноженный на 2)
- ( n = 10 )
Подставим эти значения в формулу:
[
S_{10} = 2 \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{10} - 1) = 2 (1024 - 1) = 2 \cdot 1023 = 2046
]
Таким образом, сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна ( 2046 ).
