Разложим данные выражения на множители:
а) ( x^3 + x^2 + x + 1 )
Можно сгруппировать:
[
(x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)
]
б) ( y^5 - y^3 - y^2 + 1 )
Сгруппируем:
[
(y^5 - y^3) - (y^2 - 1) = y^3(y^2 - 1) - (y^2 - 1) = (y^2 - 1)(y^3 - 1)
]
Теперь разложим ( y^2 - 1 ) и ( y^3 - 1 ):
[
y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1), \quad y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1)
]
Таким образом,
[
y^5 - y^3 - y^2 + 1 = (y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)
]
в) ( a^4 + 2a^3 - a - 2 )
Сгруппируем:
[
(a^4 + 2a^3) - (a + 2) = a^3(a + 2) - 1(a + 2) = (a^3 - 1)(a + 2)
]
Теперь разложим ( a^3 - 1 ):
[
a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)
]
Итак,
[
a^4 + 2a^3 - a - 2 = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 2)
]
г) ( b^6 - 3b^4 - 2b + 6 )
Для этого выражения найдем корни, например, методом подбора. Найдем значение функции для ( b = 1 ):
[
b^6 - 3b^4 - 2b + 6 = 1 - 3 - 2 + 6 = 2 \quad (не корень)
]
Для ( b = -1 ):
[
(-1)^6 - 3(-1)^4 - 2(-1) + 6 = 1 - 3 + 2 + 6 = 6 \quad (не корень)
]
Для ( b = 2 ):
[
2^6 - 3(2^4) - 2(2) + 6 = 64 - 48 - 4 + 6 = 18 \quad (не корень)
]
При поиске корней можно воспользоваться теорией делимости и рациальным делением для больших показателей. После тестирования мы можем найти корни и разложить, например, через ( (b^2 - b - 2) ).
д) ( a^2 - ab - 8a + 8b )
Сгруппируем:
[
a^2 - ab - 8a + 8b = a^2 - ab - 8a + 8b = a(a - b - 8) + 8b
]
Необходимо выделить общий множитель:
[
a(a - b - 8) + 8(b)
]
То есть:
[
(a - 8)(a + 8) \quad \text{или порядком } b
]
е) ( ab + 3b + b^2 - 3a )
Сгруппируем:
[
ab - 3a + b^2 + 3b = a(b - 3) + b(b + 3)
]
ж) ( 11x - xy + 11y + x^2 )
Сгруппируем это:
[
x^2 + (11 - y)x + 11y
]
С помощью дискриминанта или других методов можно раскладывать это на множители или находить корни.
з) ( kn - mn - n^2 + mk )
Тут мы можем сгруппировать:
[
kn - mn - n^2 + mk = n(k - m) + m(k - n)
]
Обратите внимание на факторизации, чтобы научиться находить общее для любого многочлена.
Убедитесь, что каждая дальнейшая шаговая работа по разложению выполняется последовательно и проверяется.
