Задача №11. Выполнить полное исследование заданных функций и построить их графики: 1) y = (x ^ 3 + 4)/(x ^ 2) 2) y = (e ^ (2x))/(2x) 3) y = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3

Для выполнения полного исследования каждой из заданных функций, рассмотрим их поэтапно. Мы изучим область определения, поведение на бесконечности, нахождение производной для определения критических точек, а также поведение функции в этих точках. ### 1) Функция: \( y = \frac{x^3 + 4}{x^2} \) **Область определения:** Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 0 \), так как при \( x = 0 \) знаменатель равен нулю. **Перепишем функцию:** \[ y = x + \frac{4}{x^2} \] **Поведение на бесконечности:** - При \( x \to +\infty \): \( y \to +\infty \) - При \( x \to -\infty \): \( y \to -\infty \) **Производная:** Найдем производную: \[ y' = 1 - \frac{8}{x^3} \] **Критические точки:** Приравняем производную к нулю: \[ 1 - \frac{8}{x^3} = 0 \] Отсюда \( x^3 = 8 \), что дает \( x = 2 \). **Вторичная производная:** \[ y'' = \frac{24}{x^4} \] При \( x = 2 \): \( y'' > 0 \) (функция имеет минимум). **Анализ функции:** - На интервале \( (-\infty, 0) \) функция убывает. - На интервале \( (0, 2) \) функция также убывает. - На интервале \( (2, +\infty) \) функция возрастает. **График:** Функция имеет асимптоту при \( x = 0 \) и минимум в точке \( x = 2 \). --- ### 2) Функция: \( y = \frac{e^{2x}}{2x} \) **Область определения:** Определена для всех \( x > 0 \) (при \( x = 0 \) функция не определена). **Поведение на бесконечности:** - При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). - При \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \) (но с точки зрения области определения). **Производная:** Найдем производную: \[ y' = \frac{2e^{2x} \cdot 2x - e^{2x} \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{2e^{2x}(2x - 1)}{4x^2} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{2x^2} \] **Критические точки:** Приравняем производную к нулю: \[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] **Вторичная производная:** Посмотрим, меняется ли знак производной: \[ y'' = определении сложно, но знак будет зависеть от значения \( x \). \] **Анализ функции:** - Функция убывает на \( (0, \frac{1}{2}) \) - Функция возрастает на \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) **График:** Функция имеет минимум в точке \( x = \frac{1}{2} \) и не определена при \( x \leq 0 \). --- ### 3) Функция: \( y = x^3 - 3x^2 + 3 \) **Область определения:** Определена для всех \( x \) (многочлен). **Поведение на бесконечности:** - При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). - При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). **Производная:** Найдем производную: \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] **Критические точки:** Приравняем производную к нулю: \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \; или \; x = 2 \] **Вторичная производная:** \[ y'' = 6x - 6 \] **Анализ функции:** Находим знаки производной: - На \( (-\infty, 0) \) - возрастает, - На \( (0, 2) \) - убывает, - На \( (2, +\infty) \) - возрастает. **Точки максимума и минимума:** - В точке \( x = 0 \) — максимум. - В точке \( x = 2 \) — минимум. **График:** Функция будет иметь максимум при \( x = 0 \) и минимум при \( x = 2 \). --- Кроме того, для каждого из графиков можно использовать программное обеспечение для построения графиков, такое как GeoGebra, Desmos или графический калькулятор.