Задача №11. Выполнить полное исследование заданных функций и построить их графики: 1) y = (x ^ 3 + 4)/(x ^ 2) 2) y = (e ^ (2x))/(2x) 3) y = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3

Для выполнения полного исследования каждой из заданных функций, рассмотрим их поэтапно. Мы изучим область определения, поведение на бесконечности, нахождение производной для определения критических точек, а также поведение функции в этих точках.

1) Функция: \( y = \frac{x^3 + 4}{x^2} \)

Область определения: Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 0 \), так как при \( x = 0 \) знаменатель равен нулю.

Перепишем функцию: \[ y = x + \frac{4}{x^2} \]

Поведение на бесконечности:

• При \( x \to +\infty \): \( y \to +\infty \)
• При \( x \to -\infty \): \( y \to -\infty \)

Производная: Найдем производную: \[ y' = 1 - \frac{8}{x^3} \]

Критические точки: Приравняем производную к нулю: \[ 1 - \frac{8}{x^3} = 0 \] Отсюда \( x^3 = 8 \), что дает \( x = 2 \).

Вторичная производная: \[ y'' = \frac{24}{x^4} \] При \( x = 2 \): \( y'' > 0 \) (функция имеет минимум).

Анализ функции:

• На интервале \( (-\infty, 0) \) функция убывает.
• На интервале \( (0, 2) \) функция также убывает.
• На интервале \( (2, +\infty) \) функция возрастает.

График: Функция имеет асимптоту при \( x = 0 \) и минимум в точке \( x = 2 \).

2) Функция: \( y = \frac{e^{2x}}{2x} \)

Область определения: Определена для всех \( x > 0 \) (при \( x = 0 \) функция не определена).

Поведение на бесконечности:

• При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \).
• При \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \) (но с точки зрения области определения).

Производная: Найдем производную: \[ y' = \frac{2e^{2x} \cdot 2x - e^{2x} \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{2e^{2x}(2x - 1)}{4x^2} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{2x^2} \]

Критические точки: Приравняем производную к нулю: \[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \]

Вторичная производная: Посмотрим, меняется ли знак производной: \[ y'' = определении сложно, но знак будет зависеть от значения \( x \). \]

Анализ функции:

• Функция убывает на \( (0, \frac{1}{2}) \)
• Функция возрастает на \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)

График: Функция имеет минимум в точке \( x = \frac{1}{2} \) и не определена при \( x \leq 0 \).

3) Функция: \( y = x^3 - 3x^2 + 3 \)

Область определения: Определена для всех \( x \) (многочлен).

Поведение на бесконечности:

• При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \).
• При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).

Производная: Найдем производную: \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \]

Критические точки: Приравняем производную к нулю: \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \; или \; x = 2 \]

Вторичная производная: \[ y'' = 6x - 6 \]

Анализ функции: Находим знаки производной:

• На \( (-\infty, 0) \) - возрастает,
• На \( (0, 2) \) - убывает,
• На \( (2, +\infty) \) - возрастает.

Точки максимума и минимума:

• В точке \( x = 0 \) — максимум.
• В точке \( x = 2 \) — минимум.

График: Функция будет иметь максимум при \( x = 0 \) и минимум при \( x = 2 \).

Кроме того, для каждого из графиков можно использовать программное обеспечение для построения графиков, такое как GeoGebra, Desmos или графический калькулятор.