Сначала обозначим основания трапеции как ( a ) и ( b ), где ( a ) — меньшее основание, а ( b ) — большее основание. По условию задачи, основания относятся как ( 4:7 ). Это можно записать как:
[
\frac{a}{b} = \frac{4}{7}
]
Из этого следует, что:
[
a = \frac{4}{7} b
]
Средняя линия трапеции ( m ) вычисляется как среднее арифметическое оснований:
[
m = \frac{a + b}{2}
]
По условию, средняя линия равна ( 12,1 ) дм:
[
\frac{a + b}{2} = 12,1
]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
a + b = 24,2
]
Теперь можем подставить ( a ) из первого уравнения во второе:
[
\frac{4}{7} b + b = 24,2
]
Сложим дроби:
[
\frac{4}{7} b + \frac{7}{7} b = \frac{4 + 7}{7} b = \frac{11}{7} b
]
Получим:
[
\frac{11}{7} b = 24,2
]
Теперь умножим обе стороны на ( \frac{7}{11} ):
[
b = 24,2 \cdot \frac{7}{11}
]
Теперь посчитаем ( b ):
[
b = 24,2 \cdot \frac{7}{11} = \frac{24,2 \cdot 7}{11} = \frac{169,4}{11} = 15,4 \text{ дм}
]
Теперь мы можем найти ( a ):
[
a = \frac{4}{7} b = \frac{4}{7} \cdot 15,4
]
Посчитаем ( a ):
[
a = \frac{4 \cdot 15,4}{7} = \frac{61,6}{7} \approx 8,8 \text{ дм}
]
Таким образом, меньшее основание трапеции равно 8,8 дм.
