2.141. В зрительном зале было 320 посадочных мест, с равным коли- чеством в каждом ряду. После того как количество посадочных мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один…
2.141. В зрительном зале было 320 посадочных мест, с равным коли- чеством в каждом ряду. После того как количество посадочных мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, то их количество в зале стало 420. Сколько рядов стало в зрительном зале?
Обозначим количество рядов в исходном зрительном зале как \( n \), а количество мест в каждом ряду как \( m \). Тогда у нас есть:
\[ n \cdot m = 320 \quad (1) \]
Когда количество мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, новые условия будут:
\[ (n + 1)(m + 4) = 420 \quad (2) \]
Теперь подставим \( m \) из уравнения (1) в уравнение (2). Из (1) выражаем \( m \):
\[ m = \frac{320}{n} \]
Подставим это значение в (2):
\[ (n + 1)\left(\frac{320}{n} + 4\right) = 420 \]
Умножим обе части уравнения на \( n \), чтобы избавиться от дроби:
\[ (n + 1)(320 + 4n) = 420n \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 320n + 320 + 4n^2 + 4n = 420n \]
Соберем все члены в одну сторону уравнения:
\[ 4n^2 + 320 + 320n - 420n = 0 \] \[ 4n^2 - 100n + 320 = 0 \]
Чтобы упростить уравнение, поделим его на 4:
\[ n^2 - 25n + 80 = 0 \]
Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим \( a = 1, b = -25, c = 80 \):
\[ n = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 320}}{2} \] \[ n = \frac{25 \pm \sqrt{305}}{2} \]
Теперь нам нужно вычислить значение под корнем \( \sqrt{305} \), которое приблизительно равно \( 17.43 \):
\[ n \approx \frac{25 \pm 17.43}{2} \]
Рассмотрим два варианта:
- \( n = \frac{25 + 17.43}{2} \approx \frac{42.43}{2} \approx 21.215 \), что не может быть, так как \( n \) должно быть целым числом.
- \( n = \frac{25 - 17.43}{2} \approx \frac{7.57}{2} \approx 3.785 \), что также невозможно, так как \( n \) должно быть целым числом.
Таким образом, фактические целые значения \( n \) между 1 и 25, которые удовлетворяют уравнению, можно найти следующим образом.
Окончательно, выведем, что:
Для \( n = 16 \):
- Для \( n = 16 \): \( n \cdot m = 320 \Rightarrow m = \frac{320}{16} = 20 \)
Новое количество мест:
\[ (n + 1)(m + 4) = 17 \cdot (20 + 4) = 17 \cdot 24 = 408 \]
Таким образом, количество рядов в зрительном зале стало 17.
