Обозначим количество рядов в исходном зрительном зале как ( n ), а количество мест в каждом ряду как ( m ). Тогда у нас есть:
[
n \cdot m = 320 \quad (1)
]
Когда количество мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, новые условия будут:
[
(n + 1)(m + 4) = 420 \quad (2)
]
Теперь подставим ( m ) из уравнения (1) в уравнение (2). Из (1) выражаем ( m ):
[
m = \frac{320}{n}
]
Подставим это значение в (2):
[
(n + 1)\left(\frac{320}{n} + 4\right) = 420
]
Умножим обе части уравнения на ( n ), чтобы избавиться от дроби:
[
(n + 1)(320 + 4n) = 420n
]
Теперь раскроем скобки:
[
320n + 320 + 4n^2 + 4n = 420n
]
Соберем все члены в одну сторону уравнения:
[
4n^2 + 320 + 320n - 420n = 0
]
[
4n^2 - 100n + 320 = 0
]
Чтобы упростить уравнение, поделим его на 4:
[
n^2 - 25n + 80 = 0
]
Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставим ( a = 1, b = -25, c = 80 ):
[
n = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}
]
[
n = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 320}}{2}
]
[
n = \frac{25 \pm \sqrt{305}}{2}
]
Теперь нам нужно вычислить значение под корнем ( \sqrt{305} ), которое приблизительно равно ( 17.43 ):
[
n \approx \frac{25 \pm 17.43}{2}
]
Рассмотрим два варианта:
- ( n = \frac{25 + 17.43}{2} \approx \frac{42.43}{2} \approx 21.215 ), что не может быть, так как ( n ) должно быть целым числом.
- ( n = \frac{25 - 17.43}{2} \approx \frac{7.57}{2} \approx 3.785 ), что также невозможно, так как ( n ) должно быть целым числом.
Таким образом, фактические целые значения ( n ) между 1 и 25, которые удовлетворяют уравнению, можно найти следующим образом.
Окончательно, выведем, что:
Для ( n = 16 ):
- Для ( n = 16 ): ( n \cdot m = 320 \Rightarrow m = \frac{320}{16} = 20 )
Новое количество мест:
[
(n + 1)(m + 4) = 17 \cdot (20 + 4) = 17 \cdot 24 = 408
]
Таким образом, количество рядов в зрительном зале стало 17.
