Найти область определения функции: y=log8(x²-3x-4)

Чтобы найти область определения функции \( y = \log_8(x^2 - 3x - 4) \), необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным. То есть:

\[ x^2 - 3x - 4 > 0 \]

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни уравнения можно найти по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Таким образом:

1. \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

Теперь нужно найти промежутки, на которых \( x^2 - 3x - 4 > 0 \). Для этого рассмотрим знаки выражения на промежутках, определенных корнями \( x = -1 \) и \( x = 4 \):

1. Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \]

2. Для \( -1 < x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \]

3. Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \]

Таким образом, неравенство \( x^2 - 3x - 4 > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (4, \infty) \).

В итоге, область определения функции \( y = \log_8(x^2 - 3x - 4) \) будет:

\[ (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \]