В данном треугольнике ( ABC ) стороны следующие: ( AC = BC = 1 ) и ( AB = \sqrt{3} ). Это треугольник с двумя равными сторонами, следовательно, он является Isosceles (равнобедренным).
Обозначим углы:
- ( \angle A = \alpha ),
- ( \angle B = \alpha ),
- ( \angle C = \beta ).
Согласно свойству углов треугольника, сумма углов равна ( 180^\circ ):
[
2\alpha + \beta = 180^\circ.
]
Также мы знаем, что применять теорему косинусов в данном случае следует:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C),
]
где ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ).
Для нашего треугольника подставим значения:
- ( a = AC = 1 ),
- ( b = BC = 1 ),
- ( c = AB = \sqrt{3} ),
- ( C = \beta ).
Получаем уравнение:
[
(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\beta).
]
Упрощаем:
[
3 = 1 + 1 - 2\cos(\beta).
]
[
3 = 2 - 2\cos(\beta).
]
Переносим 2 на левую сторону:
[
3 - 2 = -2\cos(\beta).
]
[
1 = -2\cos(\beta).
]
[
\cos(\beta) = -\frac{1}{2}.
]
Таким образом, ( \beta = 120^\circ ) (так как косинус равен (-\frac{1}{2}) при этих углах).
Теперь подставим значение ( \beta ) в уравнение для углов треугольника:
[
2\alpha + 120^\circ = 180^\circ.
]
[
2\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.
]
[
\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.
]
Таким образом, мы получаем следующие значения углов:
[
\angle A = 30^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 120^\circ.
]
Ответ:
Углы треугольника ( ABC ):
[
\angle A = 30^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 120^\circ.
]
