9. В треугольнике АВС АС = BC = 1, AB = √3. Найдите его углы. С подробным решением

В данном треугольнике \( ABC \) стороны следующие: \( AC = BC = 1 \) и \( AB = \sqrt{3} \). Это треугольник с двумя равными сторонами, следовательно, он является Isosceles (равнобедренным).

Обозначим углы:

• \( \angle A = \alpha \),
• \( \angle B = \alpha \),
• \( \angle C = \beta \).

Согласно свойству углов треугольника, сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ 2\alpha + \beta = 180^\circ. \] Также мы знаем, что применять теорему косинусов в данном случае следует:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C), \] где \( c \) — сторона, противолежащая углу \( C \).

Для нашего треугольника подставим значения:

• \( a = AC = 1 \),
• \( b = BC = 1 \),
• \( c = AB = \sqrt{3} \),
• \( C = \beta \).

Получаем уравнение: \[ (\sqrt{3})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\beta). \]

Упрощаем: \[ 3 = 1 + 1 - 2\cos(\beta). \] \[ 3 = 2 - 2\cos(\beta). \]

Переносим 2 на левую сторону: \[ 3 - 2 = -2\cos(\beta). \] \[ 1 = -2\cos(\beta). \] \[ \cos(\beta) = -\frac{1}{2}. \]

Таким образом, \( \beta = 120^\circ \) (так как косинус равен \(-\frac{1}{2}\) при этих углах).

Теперь подставим значение \( \beta \) в уравнение для углов треугольника: \[ 2\alpha + 120^\circ = 180^\circ. \] \[ 2\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \] \[ \alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ. \]

Таким образом, мы получаем следующие значения углов: \[ \angle A = 30^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 120^\circ. \]

Ответ: Углы треугольника \( ABC \): \[ \angle A = 30^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 120^\circ. \]