Давайте решим задачи по отдельности.
1) Найти третий член геометрической прогрессии, если ( b_1 = 6; q = 2 ).
Третий член геометрической прогрессии можно найти по формуле:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Для третьего члена (( n = 3 )):
[
b_3 = 6 \cdot 2^{3-1} = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24
]
Ответ: 24.
2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: ( 12; 24; ...; 192;... ).
Чтобы найти номер подчеркнутого члена, нужно определить, какой член соответствует 192.
В данной прогрессии первый член ( b_1 = 12 ), второй член ( b_2 = 24 ). Знаменатель прогрессии вычисляется как отношение второго члена к первому:
[
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{12} = 2
]
Теперь используем формулу для ( b_n ) (где ( b_n = 192 )):
[
192 = 12 \cdot 2^{n-1}
]
Решим уравнение:
[
192 = 12 \cdot 2^{n-1}
]
[
\frac{192}{12} = 2^{n-1}
]
[
16 = 2^{n-1}
]
[
2^4 = 2^{n-1}
]
отсюда:
[
n - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad n = 5
]
Ответ: 5.
3) Найти знаменатель геометрической прогрессии, если ( b_4 = 36; b = 9 ).
Сначала определим, какой это член прогрессии ( b = b_1 ). Используем формулу для ( b_4 ):
[
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3
]
Подставим известные значения:
[
36 = 9 \cdot q^3
]
Решим уравнение:
[
q^3 = \frac{36}{9} = 4
]
[
q = \sqrt[3]{4}
]
Ответ: ( q = \sqrt[3]{4} ) (примерно 1.5874).
4) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:
а) ( 8; 4; ...; )
Здесь первый член ( b_1 = 8 ), знаменатель:
[
q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
]
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Для ( n=5 ):
[
S_5 = 8 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{16} = \frac{248}{16} = 15.5
]
Ответ: 15.5.
б) ( 1,5; -3; ... )
Первый член ( b_1 = 1.5 ), второй член ( b_2 = -3 ):
[
q = \frac{-3}{1.5} = -2
]
Сумма первых 5 членов:
[
S_5 = 1.5 \cdot \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} = 1.5 \cdot \frac{1 - (-32)}{1 + 2} = 1.5 \cdot \frac{33}{3} = 1.5 \cdot 11 = 16.5
]
Ответ: 16.5.
5) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( (b_n) ), в которой ( b_4 = b_5 = 1 ).
Предположим, что ( b_1 = a ), тогда:
[
b_4 = a \cdot q^3 = 1 \quad \text{и} \quad b_5 = a \cdot q^4 = 1
]
Это значит, что:
[
a \cdot q^3 = a \cdot q^4
]
Если ( a \neq 0 ), то можно сократить:
[
q^3 = q^4 \Rightarrow q^3(1 - q) = 0 \Rightarrow q = 1
]
Таким образом, все члены равны ( b_n = 1 ).
Сумма первых 5 членов:
[
S_5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
]
Ответ: 5.
6) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой ( q = 3 ), ( b_4 = 65 ).
Сначала найдем ( b_1 ):
[
b_4 = b_1 \cdot q^3
]
Подставим известные значения:
[
65 = b_1 \cdot 3^3 = b_1 \cdot 27
]
Решим для ( b_1 ):
[
b_1 = \frac{65}{27}
]
Ответ: ( b_1 = \frac{65}{27} \approx 2.4074 ).
