Самостоятельная работа Геометрическая прогрессия Вариант 2 1) Найти третий член геометрической прогрессии, если в₁=6; q=2. 2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической…

Давайте решим задачи по отдельности.

1) Найти третий член геометрической прогрессии, если \( b_1 = 6; q = 2 \).

Третий член геометрической прогрессии можно найти по формуле: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Для третьего члена (\( n = 3 \)): \[ b_3 = 6 \cdot 2^{3-1} = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24 \] Ответ: 24.

2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: \( 12; 24; ...; 192;... \).

Чтобы найти номер подчеркнутого члена, нужно определить, какой член соответствует 192.

В данной прогрессии первый член \( b_1 = 12 \), второй член \( b_2 = 24 \). Знаменатель прогрессии вычисляется как отношение второго члена к первому: \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{12} = 2 \]

Теперь используем формулу для \( b_n \) (где \( b_n = 192 \)): \[ 192 = 12 \cdot 2^{n-1} \] Решим уравнение: \[ 192 = 12 \cdot 2^{n-1} \] \[ \frac{192}{12} = 2^{n-1} \] \[ 16 = 2^{n-1} \] \[ 2^4 = 2^{n-1} \] отсюда: \[ n - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad n = 5 \]

Ответ: 5.

3) Найти знаменатель геометрической прогрессии, если \( b_4 = 36; b = 9 \).

Сначала определим, какой это член прогрессии \( b = b_1 \). Используем формулу для \( b_4 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 \] Подставим известные значения: \[ 36 = 9 \cdot q^3 \] Решим уравнение: \[ q^3 = \frac{36}{9} = 4 \] \[ q = \sqrt[3]{4} \]

Ответ: \( q = \sqrt[3]{4} \) (примерно 1.5874).

4) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:

а) \( 8; 4; ...; \)

Здесь первый член \( b_1 = 8 \), знаменатель: \[ q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Для \( n=5 \): \[ S_5 = 8 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{16} = \frac{248}{16} = 15.5 \] Ответ: 15.5.

б) \( 1,5; -3; ... \)

Первый член \( b_1 = 1.5 \), второй член \( b_2 = -3 \): \[ q = \frac{-3}{1.5} = -2 \]

Сумма первых 5 членов: \[ S_5 = 1.5 \cdot \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} = 1.5 \cdot \frac{1 - (-32)}{1 + 2} = 1.5 \cdot \frac{33}{3} = 1.5 \cdot 11 = 16.5 \] Ответ: 16.5.

5) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \( (b_n) \), в которой \( b_4 = b_5 = 1 \).

Предположим, что \( b_1 = a \), тогда: \[ b_4 = a \cdot q^3 = 1 \quad \text{и} \quad b_5 = a \cdot q^4 = 1 \] Это значит, что: \[ a \cdot q^3 = a \cdot q^4 \] Если \( a \neq 0 \), то можно сократить: \[ q^3 = q^4 \Rightarrow q^3(1 - q) = 0 \Rightarrow q = 1 \] Таким образом, все члены равны \( b_n = 1 \).

Сумма первых 5 членов: \[ S_5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \] Ответ: 5.

6) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой \( q = 3 \), \( b_4 = 65 \).

Сначала найдем \( b_1 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] Подставим известные значения: \[ 65 = b_1 \cdot 3^3 = b_1 \cdot 27 \] Решим для \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{65}{27} \]

Ответ: \( b_1 = \frac{65}{27} \approx 2.4074 \).