Х^3+5х^2-16х-80=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = 0 \), можно попробовать найти его корни, используя метод подбора или деление многочлена. 1. **Пробуем найти целые корни с помощью метода подбора.** Поскольку свободный член у нас -80, мы можем попробовать делители числа -80, такие как ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±16, ±20, ±40, ±80. Проверим, например, \( x = 4 \): \[ 4^3 + 5 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 - 80 = 64 + 80 - 64 - 80 = 0 \] Следовательно, \( x = 4 \) является корнем уравнения. 2. **Теперь разделим многочлен \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 \) на \( x - 4 \) с помощью деления многочлена.** После деления получаем: \[ x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = (x - 4)(x^2 + 9x + 20) \] 3. **Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 9x + 20 = 0 \) с помощью дискриминанта.** Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 1, b = 9, c = 20 \): \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных вещественных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 1}{2} \] 4. **Находим корни:** \[ x_1 = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] 5. **Итак, все корни уравнения:** \[ x_1 = 4, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = -5 \] Корни уравнения \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = 0 \) — это \( x = 4, x = -4, x = -5 \).