х^3+5х^2-16х-80=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = 0 \), можно попробовать найти его корни, используя метод подбора или деление многочлена.
- Пробуем найти целые корни с помощью метода подбора. Поскольку свободный член у нас -80, мы можем попробовать делители числа -80, такие как ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±16, ±20, ±40, ±80.
Проверим, например, \( x = 4 \):
\[ 4^3 + 5 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 - 80 = 64 + 80 - 64 - 80 = 0 \]
Следовательно, \( x = 4 \) является корнем уравнения.
- Теперь разделим многочлен \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 \) на \( x - 4 \) с помощью деления многочлена.
После деления получаем:
\[ x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = (x - 4)(x^2 + 9x + 20) \]
- Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 9x + 20 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \( a = 1, b = 9, c = 20 \):
\[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \]
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных вещественных корня:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 1}{2} \]
- Находим корни:
\[ x_1 = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
- Итак, все корни уравнения:
\[ x_1 = 4, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = -5 \]
Корни уравнения \( x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = 0 \) — это \( x = 4, x = -4, x = -5 \).
