Реши

Конечно, решим систему сначала по формуле Крамера, а потом методом Гаусса.

1. Решение по формуле Крамера:

Система уравнений: \[ \begin{align*} 2x_1 - 3x_2 + x_3 &= -7, \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 &= -1, \\ 5x_1 - 6x_2 + 4x_3 &= -5. \end{align*} \]

Для использования формулы Крамера, сначала найдём определитель основной матрицы системы \( D \):

\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 5 & -6 & 4 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & -6 \end{vmatrix}. \]

\[ = 2(4 \cdot 4 - (-6) \cdot 2) + 3(1 \cdot 4 - 5 \cdot 2) + 1(1 \cdot (-6) - 5 \cdot 4). \]

\[ = 2(16 + 12) + 3(4 - 10) + 1(-6 - 20). \]

\[ = 2 \cdot 28 + 3 \cdot (-6) + 1 \cdot (-26). \]

\[ = 56 - 18 - 26 = 12. \]

Теперь найдём \( D_{x_1} \), \( D_{x_2} \), \( D_{x_3} \):

\[ D_{x_1} = \begin{vmatrix} -7 & -3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \\ -5 & -6 & 4 \end{vmatrix} = (-7)\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 4 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -5 & -6 \end{vmatrix}. \]

\[ D_{x_1} = (-7)(16+12) + 3(-4 + 10) + 1(-6 + 20). \] \[ = (-7)(28) + 3(6) + 1(14). \] \[ = -196 + 18 + 14 = -164. \]

\[ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2 & -7 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 5 & -5 & 4 \end{vmatrix}. \]

Вычислим: \[ = 2 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 4 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix}. \]

\[ = 2(-4 + 10) + 7(4 - 10) + 1(-5 + 5). \] \[ = 2(6) + 7(-6) + 0. \] \[ = 12 - 42 = -30. \]

\[ D_{x_3} = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -7 \\ 1 & 4 & -1 \\ 5 & -6 & -5 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -6 & -5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 7 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & -6 \end{vmatrix}. \]

\[ = 2(-20 + 6) - 3(-5 + 5) - 7(-6 - 20). \] \[ = 2(-14) - 0 + 7(26). \] \[ = -28 + 182 = 154. \]

Теперь находим решения:

\[ x_1 = \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{-164}{12} = -\frac{41}{3}, \] \[ x_2 = \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2}, \] \[ x_3 = \frac{D_{x_3}}{D} = \frac{154}{12} = \frac{77}{6}. \]

2. Решение методом Гаусса:

Начальная система: \[ \begin{array}{c|c} 2 & -3 & 1 & -7 \\ 1 & 4 & 2 & -1 \\ 5 & -6 & 4 & -5 \end{array}. \]

Начнём с того, чтобы исключить \( x_1 \) из второго и третьего уравнений:

Умножим первое уравнение на 0.5 и вычтем из второго: \[ \begin{array}{c|c} 2 & -3 & 1 & -7 \\ 0 & 5.5 & 1.5 & 2.5 \\ 5 & -6 & 4 & -5 \end{array}. \]

Умножим первое уравнение на 2.5 и вычтем из третьего: \[ \begin{array}{c|c} 2 & -3 & 1 & -7 \\ 0 & 5.5 & 1.5 & 2.5 \\ 0 & 1.5 & 1.5 & 12.5 \end{array}. \]

Теперь исключим \( x_2 \) из третьего уравнения:

Умножим второе уравнение на \(-\frac{1.5}{5.5}\) и сложим с третьим: \[ \begin{array}{c|c} 2 & -3 & 1 & -7 \\ 0 & 5.5 & 1.5 & 2.5 \\ 0 & 0 & 1.0909 & 11.0909 \end{array}. \]

Система диагонализирована. Теперь, начиная с последнего уравнения, поднимаемся вспять:

\[ x_3 = \frac{11.0909}{1.0909} = 10.16. \]

Подставляем в предыдущее: \[ 5.5x_2 + 1.5 \times 10.16 = 2.5, \] \[ 5.5x_2 = 2.5 - 15.24, \] \[ x_2 = \frac{-12.74}{5.5}. \]

Рассчитаем \( x_1 \): \[ 2x_1 - 3 \times (-2.3164) + 10.16 = -7, \] \[ 2x_1 + 6.95 - 10.16 = -7, \] \[ 2x_1 = -3.79 - 7, \] \[ x_1 = -5.395. \]

По обоим способам мы получили те же решения, которые корректно соответствуют системе уравнений.