Обозначим длины сторон прямоугольника как ( a ) и ( b ). У нас есть следующие уравнения на основе условия задачи:
Периметр:
[
2(a + b) = 82
]
Отсюда:
[
a + b = 41 \quad (1)
]
Площадь:
[
a \cdot b = 420 \quad (2)
]
Теперь мы можем выразить ( b ) через ( a ) из уравнения (1):
[
b = 41 - a
]
Подставим это выражение для ( b ) в уравнение (2):
[
a \cdot (41 - a) = 420
]
Раскроем скобки:
[
41a - a^2 = 420
]
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
[
-a^2 + 41a - 420 = 0
]
Умножим на -1:
[
a^2 - 41a + 420 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого найдём ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 1681 - 1680 = 1
]
Так как ( D > 0 ), уравнение имеет два различных корня. Найдем корни с помощью формулы:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{41 \pm 1}{2}
]
Рассмотрим оба случая:
1.
[
a_1 = \frac{42}{2} = 21
]
2.
[
a_2 = \frac{40}{2} = 20
]
Теперь найдём соответствующие значения ( b ):
- Если ( a = 21 ), то ( b = 41 - 21 = 20 ).
- Если ( a = 20 ), то ( b = 41 - 20 = 21 ).
Таким образом, стороны прямоугольника:
( a = 20 ) см и ( b = 21 ) см.
Ответ: длины сторон прямоугольника 20 см и 21 см.
