Периметр прямоугольника равен 82 см, а его площадь 420 см³. Найдите длины сторон прямоугольника

Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \). У нас есть следующие уравнения на основе условия задачи:

1. Периметр:
   \[ 2(a + b) = 82 \] Отсюда: \[ a + b = 41 \quad (1) \]

2. Площадь:
   \[ a \cdot b = 420 \quad (2) \]

Теперь мы можем выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (1):
\[ b = 41 - a \]

Подставим это выражение для \( b \) в уравнение (2):
\[ a \cdot (41 - a) = 420 \]

Раскроем скобки:
\[ 41a - a^2 = 420 \]

Перепишем это уравнение в стандартной форме:
\[ -a^2 + 41a - 420 = 0 \] Умножим на -1:
\[ a^2 - 41a + 420 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого найдём \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 1681 - 1680 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня. Найдем корни с помощью формулы: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{41 \pm 1}{2} \]

Рассмотрим оба случая:

1. \[ a_1 = \frac{42}{2} = 21 \] 2. \[ a_2 = \frac{40}{2} = 20 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( b \):

1. Если \( a = 21 \), то \( b = 41 - 21 = 20 \).
2. Если \( a = 20 \), то \( b = 41 - 20 = 21 \).

Таким образом, стороны прямоугольника:
\( a = 20 \) см и \( b = 21 \) см.

Ответ: длины сторон прямоугольника 20 см и 21 см.