Найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания функции y= 2x3 -3x2 -12x+7.

Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7 \) необходимо выполнить следующие шаги. 1. **Найти производную функции**: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 7) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. **Найти критические точки**: Для этого приравняем первую производную к нулю: \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Упростим уравнение, разделив на 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Теперь решаем квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, мы получаем две критические точки: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \] 3. **Определить интервалы возрастания и убывания**: Рассмотрим знак первой производной на интервалах: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 2) \) - \( (2, +\infty) \) Теперь выбираем тестовые точки в каждом из интервалов: - Для интервала \( (-\infty, -1) \), например, возьмем \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \quad (>0) \quad \text{(функция возрастает)} \] - Для интервала \( (-1, 2) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 \quad (<0) \quad \text{(функция убывает)} \] - Для интервала \( (2, +\infty) \), например, возьмем \( x = 3 \): \[ y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \quad (>0) \quad \text{(функция возрастает)} \] 4. **Результаты**: - Интервал возрастания: \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \) - Интервал убывания: \( (-1, 2) \) 5. **Найти экстремумы**: Теперь определим, какие из критических точек являются максимумами или минимумами. Для этого используем второй производной: \[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6 \] Теперь подставим критические точки: - Для \( x_1 = 2 \): \[ y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 \quad (>0) \quad \text{(минимум)} \] - Для \( x_2 = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 \quad (<0) \quad \text{(максимум)} \] 6. **Итог**: - \( x = -1 \) — максимум. - \( x = 2 \) — минимум. - Интервалы возрастания: \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \). - Интервал убывания: \( (-1, 2) \).