Найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания функции y= 2x3 -3x2 -12x+7.
Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7 \) необходимо выполнить следующие шаги.
- Найти производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 7) = 6x^2 - 6x - 12 \]
- Найти критические точки:
Для этого приравняем первую производную к нулю:
\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив на 6:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Теперь решаем квадратное уравнение:
\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]
Таким образом, мы получаем две критические точки:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]
- Определить интервалы возрастания и убывания:
Рассмотрим знак первой производной на интервалах:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь выбираем тестовые точки в каждом из интервалов:
Для интервала \( (-\infty, -1) \), например, возьмем \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \quad (>0) \quad \text{(функция возрастает)} \]
Для интервала \( (-1, 2) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 \quad (<0) \quad \text{(функция убывает)} \]
Для интервала \( (2, +\infty) \), например, возьмем \( x = 3 \): \[ y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \quad (>0) \quad \text{(функция возрастает)} \]
- Результаты:
- Интервал возрастания: \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \)
- Интервал убывания: \( (-1, 2) \)
- Найти экстремумы:
Теперь определим, какие из критических точек являются максимумами или минимумами. Для этого используем второй производной:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6 \]
Теперь подставим критические точки:
Для \( x_1 = 2 \): \[ y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 \quad (>0) \quad \text{(минимум)} \]
Для \( x_2 = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 \quad (<0) \quad \text{(максимум)} \]
- Итог:
- \( x = -1 \) — максимум.
- \( x = 2 \) — минимум.
- Интервалы возрастания: \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \).
- Интервал убывания: \( (-1, 2) \).
