скалярное решение {xy+4=0 {y=(x-1)²
Чтобы найти скалярное решение системы уравнений:
- \( xy + 4 = 0 \)
- \( y = (x - 1)^2 \)
подставим второе уравнение в первое.
Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = -\frac{4}{x} \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ -\frac{4}{x} = (x - 1)^2 \]
Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ -4 = x (x - 1)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ -4 = x (x^2 - 2x + 1) \]
\[ -4 = x^3 - 2x^2 + x \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0 \]
Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Одним из способов найти корни является использование метода подбора (или синтетической деления). Проверим, равен ли \( x = -1 \) корню:
\[ (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0 \]
Итак, \( x = -1 \) является корнем. Теперь мы можем разделить \( x^3 - 2x^2 + x + 4 \) на \( x + 1 \).
Используя синтетическое деление, мы получим:
\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ & & -1 & 3 & -4 \\ \hline & 1 & -3 & 4 & 0 \\ \end{array} \]
Таким образом, мы имеем:
\[ x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4) \]
Теперь находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 4 = 0 \):
Для нахождения корней используем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]
Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственный действительный корень изначальной системы равен \( x = -1 \). Подставив это значение в уравнение \( y = (x - 1)^2 \):
\[ y = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4 \]
Ответ:
\[ (x, y) = (-1, 4) \]
Это единственное скалярное решение данной системы уравнений.
