Скалярное решение {xy+4=0 {y=(x-1)²

Чтобы найти скалярное решение системы уравнений: 1. \( xy + 4 = 0 \) 2. \( y = (x - 1)^2 \) подставим второе уравнение в первое. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = -\frac{4}{x} \] Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение: \[ -\frac{4}{x} = (x - 1)^2 \] Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ -4 = x (x - 1)^2 \] Раскроем скобки: \[ -4 = x (x^2 - 2x + 1) \] \[ -4 = x^3 - 2x^2 + x \] Переносим все в одну сторону уравнения: \[ x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0 \] Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Одним из способов найти корни является использование метода подбора (или синтетической деления). Проверим, равен ли \( x = -1 \) корню: \[ (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0 \] Итак, \( x = -1 \) является корнем. Теперь мы можем разделить \( x^3 - 2x^2 + x + 4 \) на \( x + 1 \). Используя синтетическое деление, мы получим: \[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ & & -1 & 3 & -4 \\ \hline & 1 & -3 & 4 & 0 \\ \end{array} \] Таким образом, мы имеем: \[ x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4) \] Теперь находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 4 = 0 \): Для нахождения корней используем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \] Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, единственный действительный корень изначальной системы равен \( x = -1 \). Подставив это значение в уравнение \( y = (x - 1)^2 \): \[ y = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4 \] Ответ: \[ (x, y) = (-1, 4) \] Это единственное скалярное решение данной системы уравнений.