Обозначим количество мальчиков как ( M = 13 ) и количество девочек как ( G = 17 ). Каждый мальчик дружит хотя бы с 4 девочками. Это значит, что общее количество дружеских связей, исходящих от мальчиков, будет не менее ( 4M ).
Рассчитаем минимальное количество дружеских связей:
[
4M = 4 \times 13 = 52.
]
Таким образом, у нас есть как минимум 52 дружеские связи, исходящие от мальчиков.
Теперь рассмотрим дружеские связи с точки зрения девочек. Пусть ( x_i ) — число мальчиков, с которыми дружит ( i )-я девочка (( i = 1, 2, \ldots, 17 )). Общее количество дружеских связей можно также выразить через девочек:
[
x_1 + x_2 + \ldots + x_{17} \geq 52
]
Так как общее количество девочек составляет ( G = 17 ), то по теореме о среднем значении мы можем записать, что среднее число мальчиков, с которыми дружит девочка, равно:
[
\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{17}}{G} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{17}}{17}.
]
Подставляя известные данные:
[
\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{17}}{17} \geq \frac{52}{17} \approx 3.05.
]
Это среднее значение говорит нам о том, что в среднем каждая девочка дружит с примерно 3.05 мальчиками. Поскольку количество мальчиков и девочек — целые числа, это означает, что хотя бы одна девочка дружит с 4 мальчиками. Если бы все девочки дружили с не более чем 3 мальчиками, то общее число дружеских связей составило бы не более:
[
17 \times 3 = 51,
]
что меньше 52. Таким образом, мы приходим к противоречию. Соответственно, хотя бы одна девочка действительно должна дружить не менее чем с 4 мальчиками.
Таким образом, доказано, что найдется по крайней мере одна девочка, которая дружит не менее чем с 4 мальчиками.
