1. В прямоугольном треугольнике ABC ZA = 40°, ZB = 90° а в треугольнике MNK углы M, N, К относятся как 5 : 9 : 4. AB = 3 см, KN = 9 см. Найдите: а) BC : KМ; б) S AbC mnk b) Р ABC : MNK 2. Дано: MN || AC, S PABC : S bmn = 49 : 25, MN = 20 см (рис. 7.50). Найти: АС.

Для решения задач воспользуемся геометрическими свойствами треугольников и подобию треугольников. ### Задача 1 1. **Дан треугольник ABC:** - Угол A = 40° - Угол B = 90° - Угол C = 50° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°) - AB = 3 см (катет напротив угла C) - BC = x (катет напротив угла A) - AC = y (гипотенуза) Из соотношения между сторонами в прямоугольном треугольнике: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\sin(50°)}, \quad \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sin(40°)} \] Подставим известные значения: \[ AC = \frac{3 \cdot 1}{\sin(50°)}, \quad BC = \frac{3 \cdot 1}{\sin(40°)} \] 2. **Дан треугольник MNK, где углы относятся как 5:9:4:** - Угол M = 5x - Угол N = 9x - Угол K = 4x Сумма углов треугольника равна 180°, значит: \[ 5x + 9x + 4x = 180° \implies 18x = 180° \implies x = 10° \] Итак: - M = 50°, N = 90°, K = 40° Это треугольник имеет те же углы, что и треугольник ABC. Следовательно, треугольники подобны. 3. **Подобие треугольников:** Отношение сторон: \[ \frac{AB}{KM} = \frac{BC}{KN} = \frac{AC}{MN} \] Так как KN = 9 см, то запишем: \[ \frac{3}{KM} = \frac{x}{9} \] \[ KM = \frac{3 \cdot 9}{x} \] Для нахождения x нужно найти его значение, которое мы нашли для BC. Теперь: \[ \frac{3}{KM} = \frac{3\cdot\sin(40°)}{9} \] Таким образом, у нас есть соотношение сторон. 4. **Площадь треугольника:** Площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3 \cdot \sin(40°)}{KN} \] Площадь треугольника MNK равна: \[ S_{MNK} = \frac{S_{ABC} \cdot K}{\text{сумма углов}}, \] где K - соответствующее отношение, которые мы можем найти. 5. **Отношение P:** Поскольку треугольники подобны, тогда отношение площадей будет равно квадрату отношения сторон: \[ \frac{P_{ABC}}{P_{MNK}} = \left(\frac{AB}{KM}\right)^2 \] ### Задача 2 1. Поскольку MN || AC, мы можем использовать свойства подобия треугольников. 2. Сумма площадей S_PABC и S_bmn равна 49:25, и MN = 20 см. Так как прямые MN и AC параллельны, мы используем теорему о площади. \[ \frac{S_{PABC}}{S_{ABMN}} = \left(\frac{AC}{MN}\right)^2 \] И у нас: \[ \frac{49}{25} = \left(\frac{AC}{20}\right)^2 \] 3. Найдем AC: \[ AC = 20 \cdot \sqrt{\frac{49}{25}} = 20 \cdot \frac{7}{5} = 28 \text{ см.} \] Таким образом, ответ на задачу: 1. а) Для нахождения BC : KM необходимы значения BC и KM, используя социальные связи сторон. б) Площадь S_A, S_B для треугольников. 2. АС = 28 см.