Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AC = 36, MN = 27. Площадь треугольника АВС равна 96. Найдите площадь…

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Поскольку прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC, то треугольники AMN и ABC подобны.

Сначала найдем коэффициент подобия. Длины отрезков пропорциональны, и этот коэффициент можно найти как отношение длин MN и AC:

\[ k = \frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \]

Поскольку площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, площадь треугольника AMN составит:

\[ S_{AMN} = S_{ABC} \cdot k^2 = 96 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 96 \cdot \frac{9}{16} = \frac{864}{16} = 54 \]

Теперь найдем площадь треугольника MBN. Площадь треугольника ABC состоит из площади треугольника AMN и площади треугольника MBN:

\[ S_{ABC} = S_{AMN} + S_{MBN} \]

Следовательно,

\[ S_{MBN} = S_{ABC} - S_{AMN} = 96 - 54 = 42 \]

Таким образом, площадь треугольника MBN составляет 42. Ответ:

\[ \boxed{42} \]