В каждом предложении можно выделить главные и зависимые части. Вот грамматические основы в указанных сложных предложениях:
Предложение: После того, у Ани не было уже ни одного свободного дня, так как она принимала участие то в пикнике, то в прогулке, то в спектакле.
- Основы: у Ани не было; она принимала участие.
Предложение: Я говорю негромко и осторожно, потому что я никого не хочу ни обидеть, ни оскорбить.
- Основы: я говорю; я не хочу.
Предложение: Ввиду того, что у Бомбардова не было телефона, я послал ему вечером телеграмму.
- Основы: у Бомбардова не было; я послал.
Предложение: Из текста доктор не понял ни одного слова, так как это был какой-то иностранный, по-видимому, английский язык.
- Основы: доктор не понял; это был.
Предложение: И собаки притихли от того, что никто посторонний не тревожил их покоя.
- Основы: собаки притихли; никто не тревожил.
Предложение: Поскольку Пахомка жил неторопливой, ничем и никем неконтролируемой жизнью, он в своё удовольствие исходил и изучил родные угодья.
- Основы: Пахомка жил; он исходил и изучил.
Предложение: Так как Каштанка взвизгнула и попала ему под ноги, то он не обратил на неё внимания.
- Основы: Каштанка взвизгнула и попала; он не обратил.
Таким образом, в каждом сложном предложении выделяются грамматические основы, которые представляют собой основные смысловые части.