Вариант 1 1. Решите систему уравнений (х-2y = 1, xy + y = 12. 2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.…

Давайте по порядку решим каждую из задач.

1. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ xy + y = 12 \quad (2) \end{cases} \]

Из уравнения (1) выразим \( x \): \[ x = 2y + 1 \]

Подставим \( x \) в уравнение (2): \[ (2y + 1)y + y = 12 \] Раскроем скобки: \[ 2y^2 + y + y = 12 \] Соберем все в одну сторону: \[ 2y^2 + 2y - 12 = 0 \] Упростим: \[ y^2 + y - 6 = 0 \] Теперь найдем корни с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Корни: \[ y_1 = 2, \quad y_2 = -3 \] Подставим значения \( y \) обратно в \( x \): Для \( y_1 = 2 \): \[ x = 2(2) + 1 = 5 \] Для \( y_2 = -3 \): \[ x = 2(-3) + 1 = -5 \] Таким образом, мы имеем решения: \[ (5, 2) \quad \text{и} \quad (-5, -3) \]

2. Найдите стороны прямоугольника:

Пусть одна сторона прямоугольника \( a = x \), другая сторона \( b = x + 7 \), а диагональ равна 13 см. Согласно теореме Пифагора: \[ \sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = 13 \] Возведем в квадрат: \[ x^2 + (x + 7)^2 = 169 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \] Соберем все в одну сторону: \[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \] Упростим: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \] Находим корни: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2} \] Корни: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = -12 \quad (\text{отбрасываем, так как длина не может быть отрицательной}) \] Таким образом, \( a = 5 \) см, \( b = 12 \) см.

3. Найдите координаты точек пересечения:

\[ x^2 + y^2 = 5 \quad (1) \\ x + 3y = 7 \quad (2) \] Из уравнения (2) выразим \( x \): \[ x = 7 - 3y \] Подставим \( x \) в (1): \[ (7 - 3y)^2 + y^2 = 5 \] Раскроем скобки: \[ 49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5 \] Упростим: \[ 10y^2 - 42y + 44 = 0 \] Разделим на 2: \[ 5y^2 - 21y + 22 = 0 \] Находим корни: \[ y = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 22}}{2 \cdot 5} \] \[ y = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 440}}{10} = \frac{21 \pm 1}{10} \] Корни: \[ y_1 = 2.2, \quad y_2 = 2 \] Найдем соответствующие значения \( x \): Для \( y_1 = 2.2 \): \[ x = 7 - 3(2.2) = 0.4 \] Для \( y_2 = 2 \): \[ x = 1 \] Таким образом, точки пересечения: \[ (0.4, 2.2) \quad \text{и} \quad (1, 2) \]

4. Изобразите на координатной плоскости:

\[ x^2 + y^2 \leq 9 \quad (круг радиуса 3) \] \[ y - x \leq 1 \quad (прямая) \]

Графически, круг будет с центром в (0,0) и радиусом 3. Прямая \( y = x + 1 \) будет пересекать эту область. Вам нужно будет нарисовать круг и линию. Все точки под линией и внутри круга будут частью решения.

5. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (1) \\ 15x - y = 9 \quad (2) \end{cases} \]

Из уравнения (1) выразим \( y \): \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{6} \implies y = \frac{6x}{x - 6} \] Подставим \( y \) в (2): \[ 15x - \frac{6x}{x - 6} = 9 \] Умножим на \( x - 6 \): \[ 15x(x - 6) - 6x = 9(x - 6) \] Упростим: \[ 15x^2 - 90x - 6x = 9x - 54 \] Соберем в одну сторону: \[ 15x^2 - 105x + 54 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-105)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 54 \] Находим корни \( x \) и подставляем их в уравнение для \( y \).

Вы можете продолжить решать это уравнение, найдя конкретные значения \( x \) и \( y \).