Давайте по порядку решим каждую из задач.
1. Решите систему уравнений:
[
\begin{cases}
x - 2y = 1 \quad (1) \
xy + y = 12 \quad (2)
\end{cases}
]
Из уравнения (1) выразим ( x ):
[
x = 2y + 1
]
Подставим ( x ) в уравнение (2):
[
(2y + 1)y + y = 12
]
Раскроем скобки:
[
2y^2 + y + y = 12
]
Соберем все в одну сторону:
[
2y^2 + 2y - 12 = 0
]
Упростим:
[
y^2 + y - 6 = 0
]
Теперь найдем корни с помощью формулы:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}
]
Корни:
[
y_1 = 2, \quad y_2 = -3
]
Подставим значения ( y ) обратно в ( x ):
Для ( y_1 = 2 ):
[
x = 2(2) + 1 = 5
]
Для ( y_2 = -3 ):
[
x = 2(-3) + 1 = -5
]
Таким образом, мы имеем решения:
[
(5, 2) \quad \text{и} \quad (-5, -3)
]
2. Найдите стороны прямоугольника:
Пусть одна сторона прямоугольника ( a = x ), другая сторона ( b = x + 7 ), а диагональ равна 13 см. Согласно теореме Пифагора:
[
\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = 13
]
Возведем в квадрат:
[
x^2 + (x + 7)^2 = 169
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169
]
Соберем все в одну сторону:
[
2x^2 + 14x - 120 = 0
]
Упростим:
[
x^2 + 7x - 60 = 0
]
Находим корни:
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}
]
Корни:
[
x_1 = 5, \quad x_2 = -12 \quad (\text{отбрасываем, так как длина не может быть отрицательной})
]
Таким образом, ( a = 5 ) см, ( b = 12 ) см.
3. Найдите координаты точек пересечения:
[
x^2 + y^2 = 5 \quad (1) \
x + 3y = 7 \quad (2)
]
Из уравнения (2) выразим ( x ):
[
x = 7 - 3y
]
Подставим ( x ) в (1):
[
(7 - 3y)^2 + y^2 = 5
]
Раскроем скобки:
[
49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5
]
Упростим:
[
10y^2 - 42y + 44 = 0
]
Разделим на 2:
[
5y^2 - 21y + 22 = 0
]
Находим корни:
[
y = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 22}}{2 \cdot 5}
]
[
y = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 440}}{10} = \frac{21 \pm 1}{10}
]
Корни:
[
y_1 = 2.2, \quad y_2 = 2
]
Найдем соответствующие значения ( x ):
Для ( y_1 = 2.2 ):
[
x = 7 - 3(2.2) = 0.4
]
Для ( y_2 = 2 ):
[
x = 1
]
Таким образом, точки пересечения:
[
(0.4, 2.2) \quad \text{и} \quad (1, 2)
]
4. Изобразите на координатной плоскости:
[
x^2 + y^2 \leq 9 \quad (круг радиуса 3)
]
[
y - x \leq 1 \quad (прямая)
]
Графически, круг будет с центром в (0,0) и радиусом 3. Прямая ( y = x + 1 ) будет пересекать эту область. Вам нужно будет нарисовать круг и линию. Все точки под линией и внутри круга будут частью решения.
5. Решите систему уравнений:
[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (1) \
15x - y = 9 \quad (2)
\end{cases}
]
Из уравнения (1) выразим ( y ):
[
\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{6} \implies y = \frac{6x}{x - 6}
]
Подставим ( y ) в (2):
[
15x - \frac{6x}{x - 6} = 9
]
Умножим на ( x - 6 ):
[
15x(x - 6) - 6x = 9(x - 6)
]
Упростим:
[
15x^2 - 90x - 6x = 9x - 54
]
Соберем в одну сторону:
[
15x^2 - 105x + 54 = 0
]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
[
D = (-105)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 54
]
Находим корни ( x ) и подставляем их в уравнение для ( y ).
Вы можете продолжить решать это уравнение, найдя конкретные значения ( x ) и ( y ).
