3. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии - 18 человек, по тригонометрии - 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии - 9 человек, по геометрии и тригонометрии - 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Обозначим: - \( A \) — множество студентов, решивших задачу по алгебре, - \( G \) — множество студентов, решивших задачу по геометрии, - \( T \) — множество студентов, решивших задачу по тригонометрии. Согласно условию, у нас есть следующие данные: - \( |A| = 20 \) - \( |G| = 18 \) - \( |T| = 18 \) - \( |A \cap G| = 7 \) - \( |A \cap T| = 9 \) - \( |G \cap T| = 8 \) - 3 человека не решили ни одной задачи. Таким образом, 40 - 3 = 37 человек решили хотя бы одну задачу, то есть \( |A \cup G \cup T| = 37 \). Нам нужно найти количество студентов, которые решили все три задачи, обозначим его как \( x \). Используем формулу включения-исключения для трех множеств: \[ |A \cup G \cup T| = |A| + |G| + |T| - |A \cap G| - |A \cap T| - |G \cap T| + |A \cap G \cap T| \] Подставим известные значения: \[ 37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + x \] Упрощаем уравнение: \[ 37 = 56 - 24 + x \] \[ 37 = 32 + x \] Теперь решим его относительно \( x \): \[ x = 37 - 32 \] \[ x = 5 \] Таким образом, количество учащихся, которые решили все три задачи, равно \( 5 \).