Вычислите площадь фигуры, ограниченных указанными линиями y=-x^2 - 1, x= 1, x= 4, x=0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = -x^2 - 1 \) и вертикальными линиями \( x = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = 4 \), вам нужно будет сначала определить, какие области мы хотим обобщить, и затем вычислить интеграл. 1. Определим точки пересечения: Рассматриваем кривую \( y = -x^2 - 1 \). Убедимся, что она находится ниже оси абсцисс в заданных границах и пересекает их. При \( x = 0 \): \[ y = -(0)^2 - 1 = -1 \] При \( x = 1 \): \[ y = -(1)^2 - 1 = -2 \] При \( x = 4 \): \[ y = -(4)^2 - 1 = -17 \] Таким образом, кривая всегда ниже оси абсцисс. 2. Установим интеграл для области: Площадь под кривой между \( x = 0 \) и \( x = 4 \) можно найти, взяв интеграл от функции \( y = -x^2 - 1 \) по указанным пределам. 3. Вычислим интеграл: \[ S = -\int_{0}^{4} (-x^2 - 1) \, dx \] Это записывается как: \[ S = \int_{0}^{4} (x^2 + 1) \, dx \] Теперь находим интеграл: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{4} \] 4. Подставляем пределы: \[ S = \left( \frac{4^3}{3} + 4 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{64}{3} + 4 = \frac{64}{3} + \frac{12}{3} = \frac{76}{3} \] Итак, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна \( \frac{76}{3} \) квадратных единиц.