Все натуральные числа от 1 до 9000 покрашены в два цвета – красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух различных чисел a и b является простым числом, то a и b…

Для решения задачи воспользуемся следующим рассуждением.

Пусть \( S \) – множество натуральных чисел от 1 до 9000. Из условия задачи известно, что:

• Число 1 – красное.
• Если сумма \( a + b \), где \( a \) и \( b \) – различные числа из \( S \), является простым числом, то \( a \) и \( b \) имеют разные цвета.

Сначала заметим, что если \( a \) – красное, то все \( b \), такие что сумма \( 1 + b \) (т.е. \( 1 + b \) является простым числом), должны быть синими. Это происходит потому что, если \( 1 \) красное, то в противном случае сумма \( 1 + b \) не может быть простым числом, и только два различных числа одного цвета не могут давать сумму, являющуюся простым числом.

Следовательно:

• Если \( 1 \) – красное, то все четные числа покрашены в красный цвет (потому что сумма красного и красного будет четным числом, и не может быть простым), а все нечетные числа должны быть синими (из-за того, что для нечетного числа \( b \), сумма \( 1 + b \) будет четным для четного \( b \), и тем самым не может быть простым).

Таким образом, нечетные числа от 1 до 9000:

• Эту последовательность можно записать как \( 1, 3, 5, \ldots, 8999 \).
• Это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2.

Число членов этой прогрессии можно найти по формуле: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1, \] где \( a_n \) – последний член прогрессии, \( a_1 \) – первый член прогрессии, а \( d \) – разность.

Таким образом, подставляя наши значения, \[ n = \frac{8999 - 1}{2} + 1 = \frac{8998}{2} + 1 = 4499 + 1 = 4500. \]

Следовательно, количество синих чисел равно количеству нечетных чисел, то есть \( 4500 \).

Ответ: \( 4500 \).