Вычислить скалярное произведение векторов a и b если a = p + 3q, b=2p-4q, где |p|=3, |q|=5, угол(p,q) =60°

Для вычисления скалярного произведения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), где \( \mathbf{a} = \mathbf{p} + 3\mathbf{q} \) и \( \mathbf{b} = 2\mathbf{p} - 4\mathbf{q} \), мы можем использовать свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение определяется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \] где \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Для начала вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) непосредственно:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ( \mathbf{p} + 3\mathbf{q} ) \cdot ( 2\mathbf{p} - 4\mathbf{q} ) \]

Раскроем скобки: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{p} \cdot (2\mathbf{p}) + \mathbf{p} \cdot (-4\mathbf{q}) + 3\mathbf{q} \cdot (2\mathbf{p}) + 3\mathbf{q} \cdot (-4\mathbf{q}) \] \[ = 2(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) - 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) + 6(\mathbf{q} \cdot \mathbf{p}) - 12(\mathbf{q} \cdot \mathbf{q}) \]

Поскольку скалярное произведение коммутативно (\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} \)), можем упростить: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2|\mathbf{p}|^2 + 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - 12|\mathbf{q}|^2 \]

Теперь подставим данные:

• \( |\mathbf{p}| = 3 \) (тогда \( |\mathbf{p}|^2 = 9 \))
• \( |\mathbf{q}| = 5 \) (тогда \( |\mathbf{q}|^2 = 25 \))
• \( \angle(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = 60^\circ \), дерево \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), следовательно, \( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \)

Теперь подставим в уравнение: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2(9) + 2(7.5) - 12(25) \] \[ = 18 + 15 - 300 \] \[ = 33 - 300 \] \[ = -267 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно \(-267\).