Для вычисления скалярного произведения векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), где ( \mathbf{a} = \mathbf{p} + 3\mathbf{q} ) и ( \mathbf{b} = 2\mathbf{p} - 4\mathbf{q} ), мы можем использовать свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение определяется как:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Для начала вычислим скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) непосредственно:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ( \mathbf{p} + 3\mathbf{q} ) \cdot ( 2\mathbf{p} - 4\mathbf{q} )
]
Раскроем скобки:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{p} \cdot (2\mathbf{p}) + \mathbf{p} \cdot (-4\mathbf{q}) + 3\mathbf{q} \cdot (2\mathbf{p}) + 3\mathbf{q} \cdot (-4\mathbf{q})
]
[
= 2(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) - 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) + 6(\mathbf{q} \cdot \mathbf{p}) - 12(\mathbf{q} \cdot \mathbf{q})
]
Поскольку скалярное произведение коммутативно (( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} )), можем упростить:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2|\mathbf{p}|^2 + 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - 12|\mathbf{q}|^2
]
Теперь подставим данные:
- ( |\mathbf{p}| = 3 ) (тогда ( |\mathbf{p}|^2 = 9 ))
- ( |\mathbf{q}| = 5 ) (тогда ( |\mathbf{q}|^2 = 25 ))
- ( \angle(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = 60^\circ ), дерево ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), следовательно, ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 )
Теперь подставим в уравнение:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2(9) + 2(7.5) - 12(25)
]
[
= 18 + 15 - 300
]
[
= 33 - 300
]
[
= -267
]
Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно (-267).
