№ 2 В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 найди синус угла между диагональю BD1 и плоскостью (A1C1C) .

Чтобы найти синус угла между диагональю \( BD_1 \) и плоскостью \( A_1C_1C \) в кубе с ребром 3, начнем с определения необходимых векторов.

1. Сначала определим координаты вершин куба:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(3, 0, 0) \)
   • \( C(3, 3, 0) \)
   • \( D(0, 3, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 3) \)
   • \( B_1(3, 0, 3) \)
   • \( C_1(3, 3, 3) \)
   • \( D_1(0, 3, 3) \)

2. Находим вектор диагонали \( BD_1 \): \[ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0, 3, 3) - (3, 0, 0) = (-3, 3, 3) \]

3. Теперь найдем два вектора, которые лежат в плоскости \( A_1C_1C \):

   • Вектор \( \vec{A_1C_1} \): \[ \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (3, 3, 3) - (0, 0, 3) = (3, 3, 0) \]
   • Вектор \( \vec{A_1C} \): \[ \vec{A_1C} = C - A_1 = (3, 3, 0) - (0, 0, 3) = (3, 3, -3) \]

4. Теперь вычислим нормальный вектор к плоскости \( A_1C_1C \) с помощью произведения векторов \( \vec{A_1C_1} \) и \( \vec{A_1C} \): \[ \vec{n} = \vec{A_1C_1} \times \vec{A_1C} \] Вычислим это произведение: \[ \vec{A_1C_1} = (3, 3, 0), \quad \vec{A_1C} = (3, 3, -3) \] \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot (-3) - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(3 \cdot (-3) - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 3 - 3 \cdot 3) \] \[ = (-9)\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-9, 9, 0) \]

5. Теперь найдем длины вектора \( \vec{BD_1} \) и нормального вектора \( \vec{n} \): \[ |\vec{BD_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \]

6. Теперь найдем синус угла \( \theta \) между вектором \( \vec{BD_1} \) и нормальным вектором \( \vec{n} \): Сначала найдем косинус угла \( \theta \) с помощью скалярного произведения: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{BD_1} \cdot \vec{n}}{|\vec{BD_1}| |\vec{n}|} \] \(\vec{BD_1} \cdot \vec{n} = (-3)(-9) + (3)(9) + (3)(0) = 27 + 27 + 0 = 54\)

Подставляем в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{54}{(3\sqrt{3})(9\sqrt{2})} = \frac{54}{27\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Теперь можем легко найти \( \sin(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{6} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, синус угла между диагональю \( BD_1 \) и плоскостью \( (A_1C_1C) \) равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).