Даны точки А(-1; 2), B(4; 4), ( -1), C(2;-1), D(-3; -3). Не прибегая к чертежу, докажите, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.
Чтобы показать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно продемонстрировать, что его противолежащие стороны равны или параллельны.
Для начала находим координаты вершин:
- \( A(-1, 2) \)
- \( B(4, 4) \)
- \( C(2, -1) \)
- \( D(-3, -3) \)
1. Найдем длины сторон:
Длина стороны AB:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]
Длина стороны CD:
\[ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]
2. Проверим, равны ли стороны AB и CD:
Стороны AB и CD имеют равные длины: \[ AB = CD = \sqrt{29} \]
3. Теперь найдем длины сторон BC и AD:
Длина стороны BC:
\[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \]
Длина стороны AD:
\[ AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \]
4. Проверим, равны ли стороны BC и AD:
Стороны BC и AD тоже равны: \[ BC = AD = \sqrt{29} \]
5. Заключение:
Так как мы показали, что противолежащие стороны (AB и CD, а также BC и AD) равны, то четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.
Таким образом, ABCD - параллелограмм.
