Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Семизначные числа могут начинаться только с цифры от 1 до 9, поэтому в данном случае мы будем рассматривать случаи, когда все цифры либо нечётные, либо чётные.

1. Чётные цифры: Чётные цифры от 0 до 9 это 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр). Так как первое число не может быть 0, то для первой цифры нужно выбирать из оставшихся чётных цифр 2, 4, 6, 8 (всего 4 варианта). Для следующих шести цифр можно использовать все 5 чётных цифр.

   Количество таких семизначных чисел с чётными цифрами: \[ 4 \times 5^6 \]

2. Нечётные цифры: Нечётные цифры от 1 до 9 это 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 цифр). Первую цифру можно выбрать из всех 5 нечётных цифр, а для следующих шести цифр также можно использовать все 5 нечётных цифр.

   Количество таких семизначных чисел с нечётными цифрами: \[ 5 \times 5^6 \]

Теперь подводим итог: Общее количество семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность, будет равно сумме двух случаев: \[ 4 \times 5^6 + 5 \times 5^6 = (4 + 5) \times 5^6 = 9 \times 5^6 \]

Теперь вычислим \(5^6\): \[ 5^6 = 15625 \]

Следовательно, \[ 9 \times 15625 = 140625 \]

Таким образом, общее количество семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность, составляет 140625.