Типовой расчет по теме "Метод координат в пространстве" ЗАДАНИЯ 1. Найдите координаты вектора АВ. Укажите координаты противоположного ему вектора. 2. Напишите разложение вектора…

Для выполнения задания следует последовательно рассмотреть каждый из пунктов.

1. Найдите координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) и координаты противоположного ему вектора.

Координаты векторов определяются как разность координат конечной и начальной точек.

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1; 2 - (-1); 5 - 4) = (0; 3; 1) \]

Противоположный вектор \( -\overrightarrow{AB} \):

\[ -\overrightarrow{AB} = (0; -3; -1) \]

2. Напишите разложение вектора \( \overrightarrow{BC} \) по векторам \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \).

\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 1; -1 - 2; 5 - 5) = (-3; -3; 0) \]

Разложение вектора:

\[ \overrightarrow{BC} = -3\vec{i} - 3\vec{j} + 0\vec{k} \]

3. Найдите координаты векторов \( \vec{n} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \); \( \vec{m} = \overrightarrow{AB} + \vec{a} \cdot \vec{p} \)

Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{CA} \):

\[ \overrightarrow{CA} = A - C = (1 - (-2); -1 - (-1); 4 - 5) = (3; 0; -1) \]

Теперь найдем \( \vec{n} \):

\[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} = (0; 3; 1) - (3; 0; -1) = (-3; 3; 2) \]

Чтобы выполнить второй расчет, необходимо знать вектор \( \vec{p} \) и его масштаб \( a \). Допустим, что \( \vec{p} \) — это некоторый вектор (например, \( \vec{p} = (x_p; y_p; z_p) \)).

4. Вычислите длину вектора \( \vec{m} \), для этого сначала определим \( \vec{m} \)

Предположим \( \vec{p} = \vec{F} = (-3; 4; \sqrt{15}) \) и пусть \( a = 10 \),

\[ \vec{m} = \overrightarrow{AB} + a \cdot \vec{p} = (0; 3; 1) + 10 \cdot (-3; 4; \sqrt{15}) = (0-30; 3+40; 1+10\sqrt{15}) = (-30; 43; 1 + 10\sqrt{15}) \]

Теперь длину вектора:

\[ |\vec{m}| = \sqrt{(-30)^2 + 43^2 + (1 + 10\sqrt{15})^2} \]

5. ВК - медиана треугольника АВС. Найдите ее длину.

Координаты середины \( K \) от отрезка \( AC \):

\[ K = \left( \frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2}, \frac{A_z + C_z}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-2)}{2}; \frac{-1 + (-1)}{2}; \frac{4 + 5}{2} \right) = \left( -0.5; -1; 4.5 \right) \]

Теперь вычислим длину медианы \( \overrightarrow{BK} \):

\[ \overrightarrow{BK} = K - B = \left(-0.5 - 1; -1 - 2; 4.5 - 5\right) = (-1.5; -3; -0.5) \]

Длина медианы:

\[ |\overrightarrow{BK}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (-3)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{2.25 + 9 + 0.25} = \sqrt{11.5} \]

6. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. Вычислите косинус угла С.

Точка пересечения медиан \( R \):

\[ R = \frac{A + B + C}{3} = \left( \frac{1 + 1 - 2}{3}; \frac{-1 + 2 - 1}{3}; \frac{4 + 5 + 5}{3} \right) = \left( 0; 0; \frac{14}{3} \right) \]

Для нахождения косинуса угла С, применим скалярное произведение. Найдите векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 1; -1 - (-1); 5 - 4) = (-3; 0; 1) \]

Косинус угла между двумя векторами:

\[ \cos C = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} \]

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]

Теперь длины векторов:

\[ |\overrightarrow{AB}| = 1 \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2 } = \sqrt{10} \]

\[ \cos C = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

7. Найдите площадь треугольника АВС.

Площадь треугольника может быть вычислена через векторное произведение:

\[ S = \frac{1}{2}\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| \]

Сначала находим векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Эта детерминанта равна:

\[ (3 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{i} - (0 \cdot 1 - (-3) \cdot 1)\vec{j} + (0 \cdot 0 - (-3) \cdot 3)\vec{k} = 3\vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k} \]

Длина векторного произведения:

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} \]

Поэтому площадь:

\[ S = \frac{1}{2}\sqrt{99} = \frac{\sqrt{99}}{2} \]

8. Под каким углом к линии перемещения направлена сила F, если на прямолинейном пути от точки A до точки B совершили 4 ед. работы?

Работа определяется как скалярное произведение силы и перемещения. Используем формулу:

\[ W = \vec{F} \cdot \vec{d} \]

где \( \vec{d} = B - A = (0; 3; 1) \) и \( |\vec{d}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \).

Для находжения угла \( \theta \):

\[ W = |\vec{F}| |\vec{d}| \cos \theta \]

Подставляем все известные значения и получаем угол.

9. Определить количество снарядов, необходимое для полного разрушения цели.

Общая площадь цели и требования к снарядам позволяют определить число снарядов \( N \):

Площадь цели \( S = \text{(известно)} \)

\[ N = n \cdot S \]

В зависимости от предоставленных данных.

Это общая структура выполнения типового расчета. Пожалуйста, укажите, если нужно более детальное объяснение какого-либо шага!