Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания р=0,3. Каова вероятность того, что стрелку потребуется : а) ровно три выстрела; б) не больше трех выстрелов.
Для решения данной задачи можно использовать формулу для распределения геометрической случайной величины.
- Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 3 выстрела (то есть на первых двух выстрелах он промахнулся, а на третьем попал) можно выразить следующим образом:
\[ P(X = 3) = (1 - p)^{n-1} \cdot p \]
Здесь \(p = 0,3\) — вероятность попадания, и \(1 - p = 0,7\) — вероятность промаха. Подставим значения:
\[ P(X = 3) = (0,7)^{2} \cdot (0,3) = 0,49 \cdot 0,3 = 0,147. \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно три выстрела, равна 0,147.
- Вероятность того, что стрелку потребуется не больше трех выстрелов, можно найти, суммируя вероятности для 1, 2 и 3 выстрелов:
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). \]
- Вероятность попадания с первого выстрела:
\[ P(X = 1) = p = 0,3. \]
- Вероятность попадания со второго выстрела:
\[ P(X = 2) = (1 - p) \cdot p = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21. \]
- Вероятность попадания с третьего выстрела: (как рассчитано выше)
\[ P(X = 3) = 0,147. \]
Теперь сложим все эти вероятности:
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,3 + 0,21 + 0,147 = 0,657. \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не больше трех выстрелов, равна 0,657.
