Объясните, какая фигура называется треугольником. Начер. тите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? 2 Какие треугольники называются равными? 3 Что такое теорема и доказательство теоремы? 4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. 5 Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, про-ведённым из данной точки к данной прямой. 6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, про- веденном из данной точки к данной прямой. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 8 Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь ко биссектрис имеет треугольник? Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны? Какой треугольник называется равносторонним? Докажите, что углы при основании равнобедренного треуголь-ника равны. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобед-ренного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. признак равенства треугольников. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий

### 1. Определение треугольника Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон), соединяющих эти точки. Обозначим вершины треугольника как \( A \), \( B \) и \( C \). Тогда стороны треугольника обозначаются как \( AB \), \( BC \) и \( CA \). Углы треугольника обозначаются как \( \angle A \), \( \angle B \) и \( \angle C \).  ### 2. Периметр треугольника Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если \( a \), \( b \) и \( c \) — длины сторон треугольника \( ABC \), то периметр \( P \) равен: \[ P = AB + BC + CA = a + b + c \] ### 3. Равные треугольники Треугольники называются равными, если они имеют равные соответствующие стороны и углы. Это означает, что если два треугольника \( ABC \) и \( A'B'C' \) имеют \( AB = A'B' \), \( BC = B'C' \), \( CA = C'A' \) и \( \angle A = \angle A' \), \( \angle B = \angle B' \), \( \angle C = \angle C' \), то эти треугольники равны. ### 4. Теорема и доказательство теоремы Теорема — это математическое утверждение, которое следует из других утверждений (аксиом, лемм и предварительных теорем) и требует доказательства. #### Первый признак равенства треугольников: Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а угол между ними равен углу между этими сторонами, то треугольники равны. **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \), при этом \( AB = A'B' \), \( AC = A'C' \) и \( \angle A = \angle A' \). 2. Построим треугольник \( A'B'C' \) так, чтобы угол \( \angle A' \) совпадал с \( \angle A \), а стороны \( A'B' \) и \( A'C' \) совпадали со сторонами \( AB \) и \( AC \). 3. В результате треугольник \( ABC \) будет полностью совпадать с треугольником \( A'B'C' \). 4. Следовательно, \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \). ### 5. Перпендикуляр Отрезок, проведенный из данной точки к данной прямой и образующий прямой угол с этой прямой, называется перпендикуляром. ### 6. Теорема о перпендикуляре **Теорема:** Если из точки \( A \) провести перпендикуляр к прямой \( l \), то этот перпендикуляр является кратчайшим отрезком из точки \( A \) до прямой \( l \). **Доказательство:** 1. Рассмотрим точку \( A \) и прямую \( l \). Обозначим точку пересечения прямой \( l \) с перпендикуляром как \( B \). 2. Пусть \( C \) — произвольная точка на прямой \( l \). По свойствам прямоугольного треугольника: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] 3. Поскольку \( BC > 0 \), то \( AC^2 > AB^2 \). 4. Таким образом, расстояние \( AC \) больше расстояния \( AB \), и перпендикуляр является кратчайшим отрезком. ### 7. Медиана треугольника Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Каждый треугольник имеет три медианы. ### 8. Биссектрисы треугольника Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину угла с противоположной стороной. Треугольник имеет три биссектрисы. ### 9. Высота треугольника Высотой треугольника называется отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно к противолежащей стороне (или к ее продолжению). Каждый треугольник имеет три высоты. ### 10. Равнобедренный треугольник Равнобедренным треугольником называется треугольник, в котором две стороны равны. Эти стороны называются равными (боковыми), а третья сторона — основанием. ### 11. Равносторонний треугольник Равносторонним треугольником называется треугольник, в котором все три стороны равны. ### 12. Углы при основании равнобедренного треугольника **Доказательство:** 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с \( AB = AC \). 2. Проведем биссектрису угла \( \angle A \), которая пересекает сторону \( BC \) в точке \( D \). 3. По свойству биссектрисы, получаем два равных треугольника \( ABD \) и \( ACD \) из-за равенства двух сторон и общего угла \( \angle A \). 4. Следовательно, углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) равны, и из этого следует, что \( \angle B = \angle C \). ### 13. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника **Теорема:** В равнобедренном треугольнике биссектрисы угла при вершине делят основание пополам. **Доказательство:** 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с \( AB = AC \). 2. Проведем биссектрису \( AD \) угла \( \angle A \), которая пересекает сторону \( BC \) в точке \( D \). 3. Из предыдущего доказательства следуем, что треугольники \( ABD \) и \( ACD \) равны, что означает \( BD = DC \). ### 14. Второй признак равенства треугольников **Теорема:** Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а угол, лежащий напротив одной из равных сторон, равен углу, лежащему напротив равной стороны второго треугольника, то треугольники равны. **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \), такие что \( AB = A'B' \), \( AC = A'C' \), и \( \angle A = \angle A' \). 2. Доотрисовываем их так, чтобы они наложились друг на друга. 3. Получаем равенство треугольников \( ABC \cong A'B'C' \). ### 15. Третий признак равенства треугольников **Теорема:** Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) с равенствами \( AB = A'B' \), \( AC = A'C' \), \( BC = B'C' \). 2. Мы можем построить треугольник \( ABC \) так, чтобы он совпадал с треугольником \( A'B'C' \). 3. Также можно использовать формулы площади, чтобы показать, что равенство трех сторон приведет к равенству уголков и, следовательно, к равенству треугольников. С помощью указанных выше задач и доказательств можно подготовиться к экзамену по геометрии.