a) sinx+√((3/2)(1-cosx)=0 б) найдите его корни, принадлежащие отрезку [-13п/2; -5п]

Решим уравнение \( \sin x + \sqrt{\frac{3}{2}(1 - \cos x)} = 0 \).

Сначала выразим \( \sin x \):

\[ \sin x = -\sqrt{\frac{3}{2}(1 - \cos x)} \]

Теперь у нас есть два выражения для \( \sin x \) и \( \cos x \). Используем тождество \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \):

Из этого следует: \[ 1 - \cos x = \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \]

Теперь вместо \( \cos x \) используем \( t = \cos x \). Важно учитывать, что \( t \) находится в интервале \([-1, 1]\).

Из тождества \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) можем записать:

\[ \sin^2 x = 1 - t^2 \]

Подставляем это в уравнение:

\[ \sqrt{\frac{3}{2}(1 - t)} = -\sqrt{1 - t^2} \]

Сначала удалим корень, возведя обе стороны в квадрат:

\[ \frac{3}{2}(1 - t) = 1 - t^2 \]

Решим это уравнение:

\[ 3(1 - t) = 2(1 - t^2) \]

Раскрываем скобки:

\[ 3 - 3t = 2 - 2t^2 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение применяя формулу корней \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):

\[ t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \]

Таким образом, получаем два корня:

1. \( t_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
2. \( t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Теперь найдем значения \( x \), соответствующие \( \cos x = 1 \) и \( \cos x = \frac{1}{2} \):

1. Для \( \cos x = 1 \): \[ x = 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]

2. Для \( \cos x = \frac{1}{2} \): \[ x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}, \, k \in \mathbb{Z} \]

Теперь нам надо найти корни, которые принадлежат отрезку \([-13\pi/2; -5\pi]\).

Рассмотрим каждый случай:

1. Для \( \cos x = 1 \):

   • Находим значения: \( x = 2k\pi \).
   • \( k = -3 \) даст \( x = -6\pi \).
   • Это значение в пределах \([-13\pi/2, -5\pi]\).

2. Для \( \cos x = \frac{1}{2} \):

   • \( x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \):
     • \( k = -3 \): \( -6\pi + \frac{\pi}{3} = -6\pi + \frac{1}{3}*3\pi = -5\pi \) (включается).
     • \( k = -2 \): \( -4\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} \), что больше \(-5\pi\).
   • \( x = 2k\pi - \frac{\pi}{3} \):
     • \( k = -3 \): \( -6\pi - \frac{\pi}{3} = -6\pi - \frac{1}{3}*3\pi = -\frac{19\pi}{3} \) (включается).
     • \( k = -2 \): \( -4\pi - \frac{\pi}{3} = -12/3\pi - \frac{1}{3}*3\pi = -13/3\pi \) (включается).

Итак, в конечном итоге, у нас получаются следующие корни на заданном отрезке:

\[ x = -6\pi, \, -5\pi, \, -\frac{19\pi}{3}, \, -\frac{13\pi}{3} \]

Требуемые корни на интервале \([-13\pi/2; -5\pi]\) — это всё перечисленные выше значения.