a) sinx+√((3/2)(1-cosx)=0 б) найдите его корни, принадлежащие отрезку [-13п/2; -5п]

Чтобы решить уравнение \( \sin x + \sqrt{\frac{3}{2}(1 - \cos x)} = 0 \), начнем с преобразования уравнения.

1. Избавимся от квадратного корня: \[ \sqrt{\frac{3}{2} (1 - \cos x)} = -\sin x. \]

   Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, это уравнение имеет смысл только тогда, когда \(-\sin x \geq 0\), то есть \(\sin x \leq 0\).

2. Квадратируем обе части (учитывая, что \(\sin x \leq 0\)): \[ \frac{3}{2}(1 - \cos x) = \sin^2 x. \]

3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) для замены \(\sin^2 x\): \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. \] Следовательно, \[ \frac{3}{2}(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x. \]

4. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 3(1 - \cos x) = 2(1 - \cos^2 x). \] Это упрощается до \[ 3 - 3\cos x = 2 - 2\cos^2 x. \]

5. Переносим все в одну сторону: \[ 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0. \]

6. Решим квадратное уравнение \( 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1. \]

7. Находим корни: \[ \cos x = \frac{3 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}. \] Это дает два корня: \[ \cos x_1 = 1, \quad \cos x_2 = \frac{1}{2}. \]

8. Теперь найдём \(x\):

   • Для \(\cos x = 1\): \[ x = 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}). \]
   • Для \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = 2\pi k + \frac{\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = 2\pi k - \frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}). \]

9. Теперь найдём корни в отрезке \([- \frac{13\pi}{2}; - 5\pi]\):

   • Для \(x = 2\pi k\):

     • \(k = -7 \Rightarrow x = -14\pi\), не подходит.
     • \(k = -6 \Rightarrow x = -12\pi\), не подходит.
     • \(k = -5 \Rightarrow x = -10\pi\), не подходит.
     • \(k = -4 \Rightarrow x = -8\pi\), не подходит.
     • \(k = -3 \Rightarrow x = -6\pi\), не подходит.
     • \(k = -2 \Rightarrow x = -4\pi\), не подходит.

   • Для \(x = 2\pi k + \frac{\pi}{3}\):

     • \(k = -7 \Rightarrow x = -14\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{42\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{41\pi}{3}\), не подходит.
     • \(k = -6 \Rightarrow x = -12\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{36\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{35\pi}{3}\), не подходит.
     • \(k = -5 \Rightarrow x = -10\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{30\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{29\pi}{3}\), не подходит.
     • \(k = -4 \Rightarrow x = -8\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{23\pi}{3}\), не подходит.
     • \(k = -3 \Rightarrow x = -6\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{17\pi}{3}\), не подходит.
     • \(k = -2 \Rightarrow x = -4\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}\), подходит.

   • Для \(x = 2\pi k - \frac{\pi}{3}\):

     • Повторяем те же ветки, чтобы найти:
     • \(k = -4 \Rightarrow x = -8\pi - \frac{\pi}{3} = -24\pi - \frac{1\pi}{3} = -\frac{73\pi}{3}\)
     • ...

10. Проверяем все значения. Получаем только \(x = -\frac{11\pi}{3}\).

Таким образом, корни уравнения \( \sin x + \sqrt{\frac{3}{2}(1 - \cos x)} = 0 \) на отрезке \( [-13\pi/2; -5\pi] \): \[ x = -\frac{11\pi}{3}. \]