в коробке 9 простых карандашей из них 4 мягких остальные твердые из коробки не глядя забирают 6 карандашей найдите вероятность : а) ровно 2 мягких б) ровно 3 мягких в) все 4…

Для решения этой задачи будем использовать формулу комбинаций. Сначала определим количество карандашей в коробке:

• Всего карандашей: 9
• Мягких: 4
• Твердых: 5 (поскольку 9 - 4 = 5)

Теперь обозначим количество выбранных карандашей, равных 6. Мы будем использовать формулу для вычисления вероятности, основанную на комбинациях:

\[ P(A) = \frac{C(n, k)}{C(N, K)}, \]

где:

• \(C(n, k)\) — число комбинаций выбора \(k\) объектов из \(n\),
• \(N\) — общее число объектов,
• \(K\) — общее число выбранных объектов.

Общее количество способов выбрать 6 карандашей из 9:

\[ C(9, 6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84. \]

Теперь рассчитаем каждую ситуацию.

а) Вероятность того, что ровно 2 мягких:

Нам нужно выбрать 2 мягких карандаша из 4 и 4 твердых из 5:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6, \]

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = 5. \]

Таким образом, общее число способов выбрать 2 мягких и 4 твердых:

\[ C(4, 2) \cdot C(5, 4) = 6 \cdot 5 = 30. \]

Вероятность:

\[ P(2 \text{ мягких}) = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}. \]

б) Вероятность того, что ровно 3 мягких:

Нам нужно выбрать 3 мягких карандаша из 4 и 3 твердых из 5:

\[ C(4, 3) = 4, \]

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \]

Таким образом, общее число способов выбрать 3 мягких и 3 твердых:

\[ C(4, 3) \cdot C(5, 3) = 4 \cdot 10 = 40. \]

Вероятность:

\[ P(3 \text{ мягких}) = \frac{40}{84} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}. \]

в) Вероятность того, что все 4 мягких:

Нам нужно выбрать 4 мягких карандаша из 4 и 2 твердых из 5:

\[ C(4, 4) = 1, \]

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \]

Таким образом, общее число способов выбрать 4 мягких и 2 твердых:

\[ C(4, 4) \cdot C(5, 2) = 1 \cdot 10 = 10. \]

Вероятность:

\[ P(4 \text{ мягких}) = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}. \]

г) Вероятность того, что более одного мягкого карандаша:

Варианты, когда более одного мягкого карандаша, включают случаи с 2, 3 и 4 мягкими карандашами. Мы можем сложить их вероятности:

\[ P(больше 1 \text{ мягкого}) = P(2 \text{ мягких}) + P(3 \text{ мягких}) + P(4 \text{ мягких}). \]

Подставим значения:

\[ P(больше 1 \text{ мягкого}) = \frac{5}{14} + \frac{10}{21} + \frac{5}{42}. \]

Приведем к общему знаменателю (общий знаменатель 42):

\[ \frac{5 \cdot 3}{42} + \frac{10 \cdot 2}{42} + \frac{5}{42} = \frac{15}{42} + \frac{20}{42} + \frac{5}{42} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}. \]

Таким образом, ответы:

а) \(\frac{5}{14}\)
б) \(\frac{10}{21}\)
в) \(\frac{5}{42}\)
г) \(\frac{20}{21}\)