В коробке 9 простых карандашей из них 4 мягких остальные твердые из коробки не глядя забирают 6 карандашей найдите вероятность : а) ровно 2 мягких б) ровно 3 мягких в) все 4 мягких г) более одного мягкого карандаша

Для решения этой задачи будем использовать формулу комбинаций. Сначала определим количество карандашей в коробке: - Всего карандашей: 9 - Мягких: 4 - Твердых: 5 (поскольку 9 - 4 = 5) Теперь обозначим количество выбранных карандашей, равных 6. Мы будем использовать формулу для вычисления вероятности, основанную на комбинациях: \[ P(A) = \frac{C(n, k)}{C(N, K)}, \] где: - \(C(n, k)\) — число комбинаций выбора \(k\) объектов из \(n\), - \(N\) — общее число объектов, - \(K\) — общее число выбранных объектов. Общее количество способов выбрать 6 карандашей из 9: \[ C(9, 6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84. \] Теперь рассчитаем каждую ситуацию. ### а) Вероятность того, что ровно 2 мягких: Нам нужно выбрать 2 мягких карандаша из 4 и 4 твердых из 5: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6, \] \[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = 5. \] Таким образом, общее число способов выбрать 2 мягких и 4 твердых: \[ C(4, 2) \cdot C(5, 4) = 6 \cdot 5 = 30. \] Вероятность: \[ P(2 \text{ мягких}) = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}. \] ### б) Вероятность того, что ровно 3 мягких: Нам нужно выбрать 3 мягких карандаша из 4 и 3 твердых из 5: \[ C(4, 3) = 4, \] \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \] Таким образом, общее число способов выбрать 3 мягких и 3 твердых: \[ C(4, 3) \cdot C(5, 3) = 4 \cdot 10 = 40. \] Вероятность: \[ P(3 \text{ мягких}) = \frac{40}{84} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}. \] ### в) Вероятность того, что все 4 мягких: Нам нужно выбрать 4 мягких карандаша из 4 и 2 твердых из 5: \[ C(4, 4) = 1, \] \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \] Таким образом, общее число способов выбрать 4 мягких и 2 твердых: \[ C(4, 4) \cdot C(5, 2) = 1 \cdot 10 = 10. \] Вероятность: \[ P(4 \text{ мягких}) = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}. \] ### г) Вероятность того, что более одного мягкого карандаша: Варианты, когда более одного мягкого карандаша, включают случаи с 2, 3 и 4 мягкими карандашами. Мы можем сложить их вероятности: \[ P(больше 1 \text{ мягкого}) = P(2 \text{ мягких}) + P(3 \text{ мягких}) + P(4 \text{ мягких}). \] Подставим значения: \[ P(больше 1 \text{ мягкого}) = \frac{5}{14} + \frac{10}{21} + \frac{5}{42}. \] Приведем к общему знаменателю (общий знаменатель 42): \[ \frac{5 \cdot 3}{42} + \frac{10 \cdot 2}{42} + \frac{5}{42} = \frac{15}{42} + \frac{20}{42} + \frac{5}{42} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}. \] Таким образом, ответы: а) \(\frac{5}{14}\) б) \(\frac{10}{21}\) в) \(\frac{5}{42}\) г) \(\frac{20}{21}\)