Даны точки А(3;-3), В(1;5),С(к;1) а) Найдите вектор аб(ас-бс) +бс(сб-аб+ас) Б) при каких значениях к векторы ас и бс перпендикуляры

Давайте решим поставленные задачи шаг за шагом.

а) Найдите вектор AB(AC - BC) + BC(CB - AB + AC)

1. Найдем векторы AB, AC и BC.

   • Вектор AB = B - A = (1 - 3; 5 - (-3)) = (-2; 8)
   • Вектор AC = C - A = (k - 3; 1 - (-3)) = (k - 3; 4)
   • Вектор BC = C - B = (k - 1; 1 - 5) = (k - 1; -4)

2. Вычислим \(AC - BC\): \[ AC - BC = (k - 3; 4) - (k - 1; -4) = (k - 3 - (k - 1); 4 - (-4)) = (-2; 8) \]

3. Теперь найдем \(CB\) (это просто вектор BC в обратном направлении) и затем найдем \(CB - AB + AC\):

   • Вектор CB = - BC = (1 - k; 5 - 1) = (1 - k; 4) \[ CB - AB + AC = (1 - k; 4) - (-2; 8) + (k - 3; 4) \] \[ = (1 - k + 2 + k - 3; 4 - 8 + 4) = (0; 0) \]

4. Теперь подставим в выражение \(AB(AC - BC) + BC(CB - AB + AC)\): \[ AB(AC - BC) + BC(0) = AB(AC - BC) \] Поскольку один из множителей равен нулю, всё выражение тоже равно нулю: \[ \text{Ответ: } (0; 0) \]

б) При каких значениях \(k\) векторы AC и BC перпендикулярны?

1. Векторы AC и BC перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ AC \cdot BC = 0 \]

2. Скалярное произведение: \[ AC = (k - 3; 4) \] \[ BC = (k - 1; -4) \] \[ AC \cdot BC = (k - 3)(k - 1) + 4 \cdot (-4) \] \[ = (k^2 - 4k + 3 - 16) = k^2 - 4k - 13 \] Итак, чтобы векторы были перпендикулярны: \[ k^2 - 4k - 13 = 0 \]

3. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 16 + 52 = 68 \] \[ k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 2 \pm \sqrt{17} \]

Ответ на пункт б):

Векторы AC и BC перпендикулярны при \(k = 2 + \sqrt{17}\) и \(k = 2 - \sqrt{17}\).

Таким образом, у вас есть все необходимые результаты по поставленным задачам.