В ряд записаны числа 1,2,3,... 5109. Числа, кратные 5 и 7, оставили на месте, а все остальные стерли и записали в обратном порядке. Какое число стоит на 2024-м месте?

Для решения этой задачи сначала определим, какие числа из последовательности от 1 до 5109 будут оставлены, то есть равномерно кратные 5 и 7.

1. Найдем числа, кратные 5: Кратные 5 числа в пределах от 1 до 5109:

   • Последнее кратное 5 число: \( 5 \times 1021 = 5105 \)
   • Количество чисел кратных 5: \( 1021 \)

2. Найдем числа, кратные 7: Кратные 7 числа в пределах от 1 до 5109:

   • Последнее кратное 7 число: \( 7 \times 729 = 5103 \)
   • Количество чисел кратных 7: \( 729 \)

3. Найдем числа, кратные одновременно 5 и 7 (кратные 35): Кратные 35 числа в пределах от 1 до 5109:

   • Последнее кратное 35 число: \( 35 \times 146 = 5110 \) (считаем до 5109, следовательно, \( 35 \times 146 = 5110 \) не подходит, берем \( 35 \times 145 = 5075 \))
   • Количество чисел кратных 35: \( 146 \)

4. Применим принцип включения-исключения для нахождения общего количества оставленных чисел: \[ N(5) + N(7) - N(35) = 1021 + 729 - 146 = 1604 \]

   Таким образом, количество оставленных чисел равно 1604.

5. Теперь найдем все остальные числа, которые были стерты и записаны в обратном порядке: Общее количество чисел от 1 до 5109 равно 5109. Количество стертых чисел: \[ 5109 - 1604 = 3505 \]

6. Стертые числа: Это все числа от 1 до 5109, которые не являются кратными 5 или 7. Найдем \(n\)-ное стертое число, для этого можно воспользоваться формулой:

   • Сначала находим оставленные числа, делая это по возрастанию.
   • Затем оставим кратные 5 и 7.
   • Все остальные числа (не кратные 5 или 7) идут в обратном порядке.

Чтобы найти 2024-ое стертое число, надо идти в обратном порядке. Позиционируемся на 2024:

Находим 2024-ое стертое число: Поскольку есть 3505 стертых, то 2024-е стертое число будет \(5109 - 2024 + 1 = 4086\) числа по позиции.

Таким образом, 2024-ое стертое число при записи в обратном порядке будет \(4086\).

Теперь, необходимо определить лишние, идущие по границам. Однако, пошагово, используя обратный порядок, мы можем оставить:

Итог: Число на 2024-м месте после записи в обратном порядке - это 4086.