В ряд записаны числа 1,2,3,... 5109. Числа, кратные 5 и 7, оставили на месте, а все остальные стерли и записали в обратном порядке. Какое число стоит на 2024-м месте?

Для решения этой задачи сначала определим, какие числа из последовательности от 1 до 5109 будут оставлены, то есть равномерно кратные 5 и 7. 1. **Найдем числа, кратные 5:** Кратные 5 числа в пределах от 1 до 5109: - Последнее кратное 5 число: \( 5 \times 1021 = 5105 \) - Количество чисел кратных 5: \( 1021 \) 2. **Найдем числа, кратные 7:** Кратные 7 числа в пределах от 1 до 5109: - Последнее кратное 7 число: \( 7 \times 729 = 5103 \) - Количество чисел кратных 7: \( 729 \) 3. **Найдем числа, кратные одновременно 5 и 7 (кратные 35):** Кратные 35 числа в пределах от 1 до 5109: - Последнее кратное 35 число: \( 35 \times 146 = 5110 \) (считаем до 5109, следовательно, \( 35 \times 146 = 5110 \) не подходит, берем \( 35 \times 145 = 5075 \)) - Количество чисел кратных 35: \( 146 \) 4. **Применим принцип включения-исключения для нахождения общего количества оставленных чисел:** \[ N(5) + N(7) - N(35) = 1021 + 729 - 146 = 1604 \] Таким образом, количество оставленных чисел равно 1604. 5. **Теперь найдем все остальные числа, которые были стерты и записаны в обратном порядке:** Общее количество чисел от 1 до 5109 равно 5109. Количество стертых чисел: \[ 5109 - 1604 = 3505 \] 6. **Стертые числа:** Это все числа от 1 до 5109, которые не являются кратными 5 или 7. Найдем \(n\)-ное стертое число, для этого можно воспользоваться формулой: - Сначала находим оставленные числа, делая это по возрастанию. - Затем оставим кратные 5 и 7. - Все остальные числа (не кратные 5 или 7) идут в обратном порядке. Чтобы найти 2024-ое стертое число, надо идти в обратном порядке. Позиционируемся на 2024: **Находим 2024-ое стертое число:** Поскольку есть 3505 стертых, то 2024-е стертое число будет \(5109 - 2024 + 1 = 4086\) числа по позиции. Таким образом, 2024-ое стертое число при записи в обратном порядке будет \(4086\). Теперь, необходимо определить лишние, идущие по границам. Однако, пошагово, используя обратный порядок, мы можем оставить: **Итог: Число на 2024-м месте после записи в обратном порядке - это 4086.**