Обозначим:
- ( x ) — количество учебников,
- ( y ) — количество художественной литературы,
- ( z ) — количество журналов.
Исходим из условия:
- ( x + y + z > 100 ) (всего книг больше 100).
- ( x = y + 20 ) (количество учебников на 20 больше, чем количество художественной литературы).
- ( z = \frac{1}{4}(x + y + z) ) (количество журналов составляет 1/4 от общего числа книг).
Подставим ( z ) из третьего уравнения в первое:
[
x + y + \frac{1}{4}(x + y + z) > 100
]
Так как ( z = \frac{1}{4}(x + y + z) ), можно упростить эту систему. Из третьего уравнения, умножив обе стороны на 4, получим:
[
4z = x + y + z \implies 3z = x + y \implies z = \frac{x + y}{3}
]
Теперь у нас есть:
- ( x + y + z > 100 )
- ( x = y + 20 )
- ( z = \frac{x + y}{3} )
Подставим ( x ) из второго в третье:
[
z = \frac{(y + 20) + y}{3} = \frac{2y + 20}{3}
]
Теперь можем подставить ( z ) обратно в первое уравнение:
[
(y + 20) + y + \frac{2y + 20}{3} > 100
]
Умножим все на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
3(y + 20) + 3y + 2y + 20 > 300
]
Раскроем скобки:
[
3y + 60 + 3y + 2y + 20 > 300 \implies 8y + 80 > 300
]
Преобразуем:
[
8y > 220 \implies y > 27.5
]
Так как количество книг должно быть целым, то ( y \geq 28 ).
Теперь находим ( x ) и ( z ):
[
x = y + 20 \implies x \geq 28 + 20 = 48,
]
[
z = \frac{2y + 20}{3}.
]
Подставим минимальное значение ( y = 28 ):
[
z = \frac{2 \cdot 28 + 20}{3} = \frac{56 + 20}{3} = \frac{76}{3} \approx 25.33.
]
Так как ( z ) также должно быть целым, нужно взять ( y = 29 ):
[
x = 29 + 20 = 49,
]
[
z = \frac{2 \cdot 29 + 20}{3} = \frac{58 + 20}{3} = \frac{78}{3} = 26.
]
Теперь проверим:
[
x + y + z = 49 + 29 + 26 = 104,
]
что больше 100. Таким образом, минимальные значения, которые подходят, это ( x = 49 ), ( y = 29 ), ( z = 26 ).
Теперь, нам нужно посчитать сумму значений:
[
x + y + z = 49 + 29 + 26 = 104.
]
Ответ: 104.
