Ракета начальной массой 800 т, стартовав из неподвижного положения, сожгла половину топлива, в результате чего ею была достигнута скорость 2,5 км/с. Чему будет равна масса ракеты…

Для решения этой задачи можно применить закон сохранения импульса и уравнение ракетного движения (фомулу Тсиолковского).

Обозначим начальную массу ракеты как \( m_0 = 800 \, \text{т} \), массу сожженного топлива как \( m_f \), а конечную массу ракеты как \( m \).

Когда ракета сожгла половину топлива, её масса стала:

\[ m = m_0 - \frac{m_0}{2} = \frac{m_0}{2} = \frac{800 \, \text{т}}{2} = 400 \, \text{т} \]

Скорость ракеты в этот момент \( v_1 = 2,5 \, \text{км/с} \).

Запишем уравнение Тсиолковского:

\[ v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) \]

где \( v \) — конечная скорость ракеты, \( v_e \) — скорость истечения газов, и \( \ln \) — натуральный логарифм.

Теперь рассчитаем, какую массу необходимо для достижения скорости \( v_2 = 7,5 \, \text{км/с} \).

Ракета уже сожгла половину топлива, и ее масса на данный момент составляет 400 т. Теперь подставим известные значения в уравнение, чтобы найти скорость истечения:

\[ 2,5 = v_e \ln\left(\frac{800}{400}\right) \]

Поскольку \( \ln(2) \approx 0.693 \), то:

\[ 2,5 = v_e \cdot 0.693 \]

Отсюда:

\[ v_e = \frac{2,5}{0.693} \approx 3,61 \, \text{км/с} \]

Теперь подставим это значение в уравнение для достижения скорости 7,5 км/с:

\[ 7,5 = 3,61 \ln\left(\frac{800}{m}\right) \]

Решим это уравнение для \( m \):

\[ \ln\left(\frac{800}{m}\right) = \frac{7,5}{3,61} \approx 2,08 \]

Теперь найдём \( \frac{800}{m} \):

\[ \frac{800}{m} = e^{2,08} \approx 8,03 \]

Отсюда:

\[ m = \frac{800}{8,03} \approx 99,7 \, \text{т} \]

Таким образом, масса ракеты в момент, когда её скорость достигнет 7,5 км/с, будет приблизительно \( 99,7 \, \text{т} \).