Для решения этой задачи можно применить закон сохранения импульса и уравнение ракетного движения (фомулу Тсиолковского).
Обозначим начальную массу ракеты как ( m_0 = 800 , \text{т} ), массу сожженного топлива как ( m_f ), а конечную массу ракеты как ( m ).
Когда ракета сожгла половину топлива, её масса стала:
[
m = m_0 - \frac{m_0}{2} = \frac{m_0}{2} = \frac{800 , \text{т}}{2} = 400 , \text{т}
]
Скорость ракеты в этот момент ( v_1 = 2,5 , \text{км/с} ).
Запишем уравнение Тсиолковского:
[
v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
]
где ( v ) — конечная скорость ракеты, ( v_e ) — скорость истечения газов, и ( \ln ) — натуральный логарифм.
Теперь рассчитаем, какую массу необходимо для достижения скорости ( v_2 = 7,5 , \text{км/с} ).
Ракета уже сожгла половину топлива, и ее масса на данный момент составляет 400 т. Теперь подставим известные значения в уравнение, чтобы найти скорость истечения:
[
2,5 = v_e \ln\left(\frac{800}{400}\right)
]
Поскольку ( \ln(2) \approx 0.693 ), то:
[
2,5 = v_e \cdot 0.693
]
Отсюда:
[
v_e = \frac{2,5}{0.693} \approx 3,61 , \text{км/с}
]
Теперь подставим это значение в уравнение для достижения скорости 7,5 км/с:
[
7,5 = 3,61 \ln\left(\frac{800}{m}\right)
]
Решим это уравнение для ( m ):
[
\ln\left(\frac{800}{m}\right) = \frac{7,5}{3,61} \approx 2,08
]
Теперь найдём ( \frac{800}{m} ):
[
\frac{800}{m} = e^{2,08} \approx 8,03
]
Отсюда:
[
m = \frac{800}{8,03} \approx 99,7 , \text{т}
]
Таким образом, масса ракеты в момент, когда её скорость достигнет 7,5 км/с, будет приблизительно ( 99,7 , \text{т} ).
