решите неравенство кореньх²+8х≤3
Для решения неравенства \(\sqrt{x^2 + 8x} \leq 3\) начнем с его преобразования.
- Возведем обе стороны неравенства в квадрат:
\[ x^2 + 8x \leq 3^2 \]
\[ x^2 + 8x \leq 9 \]
- Переносим 9 на левую сторону:
\[ x^2 + 8x - 9 \leq 0 \]
- Решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\) с помощью дискримината:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]
Корни равны:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]
\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь имеем корни \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 1\). Нечеткая парабола \(y = x^2 + 8x - 9\) имеет ветви, направленные вверх, и может принимать значение \(\leq 0\) между корнями.
Теперь определим промежутки:
- \( (-\infty, -9) \) - \(y > 0\)
- \((-9, 1)\) - \(y \leq 0\)
- \((1, +\infty)\) - \(y > 0\)
Таким образом, решение неравенства \(x^2 + 8x - 9 \leq 0\) будет:
\[ x \in [-9, 1] \]
Что касается условий под корнем: \(x^2 + 8x \geq 0\). Это уравнение также имеет корни в точках \(x = 0\) и \(x = -8\).
- Условия будут выполнены:
- \(x^2 + 8x = 0\) выполняется на \(x = 0\) и \(x = -8\)
- Проверяем значение для неравенств в промежутках:
- \(x \in (-\infty, -8)\) - подкоренное выражение положительно
- \(x \in (-8, 0)\) - подкоренное выражение отрицательно
- \(x \in (0, +\infty)\) - подкоренное выражение положительно
Таким образом, в конечном итоге учитываем условие \(\sqrt{x^2 + 8x} \geq 0\) и принимаем результат \(x \in [-9, -8] \cup [0, 1]\).
Ответ:
\(x \in [-9, -8] \cup [0, 1]\)
