На верхушке высокой пальмы висит пружина длиной $\displaystyle 4$ метра. Обезьяна хотела добраться до бананов, прыгнула на пружину и повисла на конце пружины в точке…
На верхушке высокой пальмы висит пружина длиной $\displaystyle 4$ метра. Обезьяна хотела добраться до бананов, прыгнула на пружину и повисла на конце пружины в точке $\displaystyle A$. Когда пружина перестала раскачиваться, оказалось, что она растянулась под весом обезьяны до длины $\displaystyle 10$ м. Обезьяна полезла по пружине вверх с постоянной скоростью $\displaystyle 0{,}5$ м/с. Пружина невесомая и подчиняется закону Гука, дерево не сгибается. С какой скоростью удаляется от земли нижний конец пружины, пока обезьяна лезет по пружине вверх?
Для решения задачи начнем с определения одной из ключевых характеристик пружины — её жесткости. Так как пружина была в состоянии покоя под весом обезьяны, мы можем использовать закон Гука для определения её коэффициента жёсткости.
Обозначим:
- \( m \) — масса обезьяны,
- \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \)),
- \( k \) — коэффициент жесткости пружины.
Когда пружина уходит в растяжение, её длина увеличивается с \( 4 \) м до \( 10 \) м, что значит, что её растяжение \( x \) равно: \[ x = 10 \, \text{м} - 4 \, \text{м} = 6 \, \text{м}. \]
Согласно закону Гука, сила, действующая на пружину, равна: \[ F = kx. \]
Эта сила равна весу обезьяны: \[ F = mg. \]
Таким образом, имеем равенство: \[ mg = kx. \]
Здесь из уравнения голок мы можем выразить коэффициент жесткости \( k \): \[ k = \frac{mg}{x}. \]
Теперь посчитаем, как пружина будет реагировать на движение обезьяны вверх. Обезьяна движется с постоянной скоростью \( v_a = 0,5 \, \text{м/с} \) вверх по пружине.
Когда обезьяна поднимается на высоту \( h \), пружина будет растягиваться дополнительно. Поскольку пружина растягивается под её весом и её длина остается постоянной в новом положении, то расстояние от верхушки пальмы до нижнего конца пружины будет увеличиваться.
Пусть \( L \) — текущая длина пружины (она будет равна \( 10 \) м), а \( h \) — это то, на сколько обезьяна поднимется вверх. В результате перемещения обезьяны верхушка пружины остается на месте, но её нижний конец движется вниз, чтобы компенсировать подъем обезьяны.
Если обозначим скорость, с которой поднимается нижний конец пружины, как \( v_s \), то счёт формирования:
- Когда обезьяна поднимается на \( h \), пружина при этом должна растягиваться на те же \( h \), что и высота, на которую поднимается обезьяна.
- Таким образом, снижения однократно совпадает с поднятием.
- Подъем с \( v_a \) в конечном итоге приводит к нагрузке пружины с высокой скоростью.
Поэтому скорость, с которой нижний конец пружины удаляется от земли: \[ v_s = v_a. \]
Таким образом, нижний конец пружины удаляется от земли с той же скоростью, с которой обезьяна поднимается по пружине: \[ \boxed{0.5} \, \text{м/с}. \]
