Обозначим длину одной стороны прямоугольника как ( x ) см. Тогда другая сторона, которая на 8 см меньше, будет равна ( x - 8 ) см.
Площадь прямоугольника можно выразить как:
[
S = x \cdot (x - 8)
]
По условию задачи площадь равна 84 см². Запишем уравнение:
[
x \cdot (x - 8) = 84
]
Раскроем скобки:
[
x^2 - 8x = 84
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 - 8x - 84 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)
]
[
D = 64 + 336 = 400
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2}
]
[
x = \frac{8 \pm 20}{2}
]
Это дает два решения:
[
x_1 = \frac{28}{2} = 14 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6
]
Так как длина стороны не может быть отрицательной, принимаем ( x = 14 ) см.
Другая сторона будет:
[
x - 8 = 14 - 8 = 6 \text{ см}
]
Теперь найдем периметр прямоугольника. Периметр ( P ) вычисляется по формуле:
[
P = 2 \cdot (a + b)
]
где ( a = 14 ) см и ( b = 6 ) см.
Подставим значения в формулу:
[
P = 2 \cdot (14 + 6) = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}
]
Таким образом, периметр прямоугольника равен 40 см.
