Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законом Снелла и некоторыми тригонометрическими соотношениями.
Обозначим угол падения как ( \theta_1 ), угол преломления как ( \theta_2 ) и угол отражения как ( \theta_3 ). Согласно закону Снелла:
[
n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)
]
где ( n_1 = 1 ) (для воздуха) и ( n_2 = 1.31 ) (для льда).
Также известно, что угол между преломленным ( \theta_2 ) и отраженным ( \theta_3 ) лучами составляет 120°. Угол отражения равен углу падения, то есть ( \theta_3 = \theta_1 ). Таким образом, можно записать:
[
\theta_2 + \theta_1 = 120°
]
Подставим ( \theta_3 = \theta_1 ):
[
\theta_2 + \theta_1 = 120°
]
[
\theta_2 = 120° - \theta_1
]
Теперь подставим это выражение в закон Снелла:
[
\sin(\theta_1) = 1.31 \sin(120° - \theta_1)
]
Теперь найдем значение ( \sin(120° - \theta_1) ):
[
\sin(120° - \theta_1) = \sin(120°) \cos(\theta_1) - \cos(120°) \sin(\theta_1)
]
Зная, что ( \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \cos(120°) = -\frac{1}{2} ), мы имеем:
[
\sin(120° - \theta_1) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1) + \frac{1}{2} \sin(\theta_1)
]
Подставляем это обратно в закон Снелла:
[
\sin(\theta_1) = 1.31 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1) + \frac{1}{2} \sin(\theta_1) \right)
]
Раскроем скобки:
[
\sin(\theta_1) = 1.31 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1) + 1.31 \cdot \frac{1}{2} \sin(\theta_1)
]
Теперь соберем все части с ( \sin(\theta_1) ) в одну сторону:
[
\sin(\theta_1) - 1.31 \cdot \frac{1}{2} \sin(\theta_1) = 1.31 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1)
]
[
\left(1 - 0.655 \right) \sin(\theta_1) = 1.31 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1)
]
[
0.345 \sin(\theta_1) = 1.31 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\theta_1)
]
Теперь разделим на ( \cos(\theta_1) ):
[
\tan(\theta_1) = \frac{1.31 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.345}
]
[
\tan(\theta_1) \approx \frac{1.31 \cdot 0.866}{0.345} \approx \frac{1.13546}{0.345} \approx 3.29
]
Теперь найдем углы:
[
\theta_1 \approx \arctan(3.29) \approx 73.5°
]
Теперь можем найти угол преломления:
[
\theta_2 = 120° - \theta_1 \approx 120° - 73.5° \approx 46.5°
]
После округления:
[
\theta_2 \approx 47°
]
Итак, угол преломления составляет примерно 47°.
