при каких значениях параметра а система имеет единственное решение у=а-1-х и х(а-1-х)=3а-8
Чтобы найти значения параметра \( a \), при которых система уравнений имеет единственное решение, рассмотрим два уравнения системы:
- \( y = a - 1 - x \) (это первое уравнение).
- \( x(a - 1 - x) = 3a - 8 \) (это второе уравнение).
Первое уравнение можно переписать как \( y = a - 1 - x \). Второе уравнение является уравнением с переменной \( x \). Подставим из первого уравнения значение \( y \) во второе.
Преобразуем второе уравнение. Раскроем скобки:
\[ x(a - 1 - x) = 3a - 8 \]
Это уравнение можно записать в следующем виде:
\[ ax - x^2 - 3a + 8 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( x \):
\[ -x^2 + ax + (8 - 3a) = 0 \]
Для того чтобы система имела единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант \( D \) для уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) определяется как:
\[ D = B^2 - 4AC \]
В нашем случае:
- \( A = -1 \)
- \( B = a \)
- \( C = 8 - 3a \)
Теперь вычислим дискриминант:
\[ D = a^2 - 4(-1)(8 - 3a) = a^2 + 4(8 - 3a) = a^2 + 32 - 12a \]
Мы хотим, чтобы \( D = 0 \):
\[ a^2 - 12a + 32 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для корней:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \( b = -12 \), \( c = 32 \):
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 \]
Теперь вычисляем корни:
\[ a = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \]
Корни будут:
- \( a_1 = \frac{16}{2} = 8 \)
- \( a_2 = \frac{8}{2} = 4 \)
Таким образом, значения параметра \( a \), при которых система имеет единственное решение, равны \( a = 4 \) и \( a = 8 \).
