Чтобы найти значения параметра ( a ), при которых система уравнений имеет единственное решение, рассмотрим два уравнения системы:
- ( y = a - 1 - x ) (это первое уравнение).
- ( x(a - 1 - x) = 3a - 8 ) (это второе уравнение).
Первое уравнение можно переписать как ( y = a - 1 - x ). Второе уравнение является уравнением с переменной ( x ). Подставим из первого уравнения значение ( y ) во второе.
Преобразуем второе уравнение. Раскроем скобки:
[
x(a - 1 - x) = 3a - 8
]
Это уравнение можно записать в следующем виде:
[
ax - x^2 - 3a + 8 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно ( x ):
[
-x^2 + ax + (8 - 3a) = 0
]
Для того чтобы система имела единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант ( D ) для уравнения ( Ax^2 + Bx + C = 0 ) определяется как:
[
D = B^2 - 4AC
]
В нашем случае:
- ( A = -1 )
- ( B = a )
- ( C = 8 - 3a )
Теперь вычислим дискриминант:
[
D = a^2 - 4(-1)(8 - 3a) = a^2 + 4(8 - 3a) = a^2 + 32 - 12a
]
Мы хотим, чтобы ( D = 0 ):
[
a^2 - 12a + 32 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для корней:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
где ( b = -12 ), ( c = 32 ):
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16
]
Теперь вычисляем корни:
[
a = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}
]
Корни будут:
- ( a_1 = \frac{16}{2} = 8 )
- ( a_2 = \frac{8}{2} = 4 )
Таким образом, значения параметра ( a ), при которых система имеет единственное решение, равны ( a = 4 ) и ( a = 8 ).
